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1、For personal use only in study and research; notfor commercial use第三章向量组的线性相关性历年试题分类统计及考点分布分向量组的线 性 相向 量 组等 价 向向 量 空标准正交其他合计值考线性组合关 、 无的 极 大量 组 、间 、 基基，正交点与线性表关 的 定无 关 组向 量 的变 换 、矩阵示义 性 质与 向 量秩 与 矩坐 标 变及判别组的秩阵的秩换 、 过年份渡矩阵8733883389339033919273109366943395963397559843799330033014480203448044405064407
2、44081010093471044合计4483221554本章知识脉络图概念 运算 加法，数乘，内积 (T) 正交化单位化概念=k11kss线性表出x1xs1s方程组有解表出条件r (1 , s)r (1,s,)1 ,s无关，1 ,s ,相关（表示法唯一）概念 若（不）存在不全为零的数 k1 , ks, 使得 k11ks s 0称1 ,s线性相关（无关）含零向量，成比例向量，s大于向量的维数1,部分相关；有一个可由其余表出s线性相关以少表多，多的相关x0有非零解n维向量线性相关性方程组1 , s判别r (1,s )s1,由s表出法唯一1 ,s ,s+1线性无关1,s线性无关1, ,sx0只有零
3、解（1 ,）0rsi 不能由其余的线性表出概念 求法向量组的秩求法数值极大线性无关组关系抽象矩阵的秩证明等价向量组关系 充要条件等价矩阵概念 基，维数，坐标 子空间 解空间基变换 过渡矩阵向量空间坐标变换内积 标准正交化，正交矩阵考点分析1.向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9 次，是重点。2.矩阵的秩 （其中有一道是关于空间解析几何的应用题）及其与向量组的秩的关系考过4 次。3.满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果A 为 n 阶方阵，则下列条件相互等价：1) | A| 0（ A为非奇异方阵）2) A 可逆（ A 为可逆矩阵）3) r ( A) n （ A 为满秩方
4、阵）4) A 与同阶单位矩阵 E 行（列）等价5) A 可以表示成若干个初等方阵的乘积6) 齐次线性方程 Ax 0 只有零解7) 对任意 n 维列向量 b ，非齐此线性方程组Axb 有唯一解8)A 的行（列）向量组线性无关.利用这些等价条件，就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m 阶方阵AB 的行列式是否为零的问题转化为m 阶方阵 AB 的秩是否小于m 的问题，或转化为齐此线性方程组 ABx0 是否有非零解的问题） 。特别地， 由 1)与 8)的等价性，提供了n 个 n 维向量是否线性相关的判别方法归结为由这n 个 n 维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问题。大纲要求向量
5、的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n 维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试内容与要求1 理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。2 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。3 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。4 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。5 了解 n 维向量空间、子空间、基
6、底、维数、坐标等概念。6 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。7 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt) 方法。8 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。基本内容一、向量的线性关系1.线性组合定义若k1 1k2 2km m ，则称可由1,2 ,m 线性表示，或称是向量组1,2 ,m 的线性组合 .注意 :零向量是任意向量组的线性组合.定理可由 1, 2,m 线性表示非齐次方程组x11x2 2xmm有解R1 , 2 , mR1 , 2 , , m ,2. 线性相关性定义设1,2, m 是 m 个 n 维向量，若有不全为零的数k1 ,k2 ,km 使k1
7、1k 22km m0则称1,2 ,m 线性相关，否则称1,2 ,m 线性无关 .注意 ：（1）无论1,2 , m 线性相关，还是线性无关， 当 k1k2km0 时，都有k11k2 2kmm0（2） 1,2 ,m 线性相关当且仅当除去全为零的 k1 , k2 , km 以外，还有一组不全为零的 k1,k2 ,km 使k11k22km m0（3）而1, 2, m 线 性 无 关 当 且 仅 当k1k2km0 时k11k22km m0（ 4）充要条件是只要k1 ,k 2,km 不全为 0，m则kii0i1性质与判别法(1) 1, 2, ,m 线性相关齐次组 x11x2 2xm m 0有非零解 .R1
8、 ,2 ,mm1, 2 , , m 中至少有一个向量可由其余 m 1 个向量线性表示 .(2)1, 2,m 线性无关齐次组 x11x22xm m 0只有非零解 .R1, 2,mm1,2 ,m 中任一向量都不能由其余m 1个向量线性表示 .(3) 只有一个向量组成的向量组，0 向量组 线性相关 ;0向量组线性无关 .A0(10)正交的非零向量组，必线性无关.3.线性表示与线性相关性的关系(1) 若1, 2, m 线 性 无关，1, 2,m,线性相关，则可 由1, 2,m 线性表示，而且表法唯一 .(2)设( )1,2, s， ( ) 1 , 2 ,t ，若 s t ，且 ( ) 可由 ( )线性表示，则向量组 ( )线性相关(3) 若 ( ) 1, 2 , , s 线性无关，且向量组( )1, 2 ,t 可线性表出 ( )，则 st.二、极大无关组与向量组的秩(4
