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1、高三研讨会立体几何1如图在组合体中,是一个长方体,是一个四棱锥,且平面, (1)求证:;(2)若,当为何值时,平面;(3)求点到平面的距离;(4)(备选)在(2)的前提下,若点在同一球面上,求此球面的面积。ABCPC1B1A1D1D【启发谈话与引导分析】第1问:要证线面垂直,只需证线线垂直。据,可得;,可得,从而得证。第2问:若平面,据线面平行的性质定理可得,知,则即可。第3问:欲求点到平面的距离,直接由点作平面的垂线,需补形,不易作出,考虑用等积法完成,十分简洁。第4问:在条件及(2)的前提下,可知两两垂直,引导学生分析:点所在的球面就是以为相邻三条棱的长方体的外接球面,从而可求此球面的直径
2、,可求出球面的面积。【解题过程】证明:(1)因为是一个长方体,所以,而平面,所以平面,则。因为,所以为等腰直角三角形,则。因为垂直于平面内的两条相交直线和,则。(2)当时,四边形是一个正方形,所以,因,又和在同一个平面内,所以,因平面,平面,则平面。(3)过点作交于,因为面面,面面,所以平面,可求得。连结,设点到平面的距离为,三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,则,因为可求得,所以,则,则点到平面的距离为。(4)因为平面,在平面内,由(2)知,即,可知两两垂直,点所在的球面就是以为相邻三条棱的长方体的外接球面,因为,从而此球面的直径,所以球面的半径,则所求球面的面积为。2在长方体中,分别是的中点,
3、过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.(1)求证:/平面;(2)求的长;(3)在线段上是否存在点,使直线与垂直,如果存在,求线段的长,如果不存在,请说明理由.A1DD1C1ACBEF【启发谈话与引导分析】第1问:要证线面平行,只需证线线平行,常见思路:构造三角形、平行四边形。连结,可证,则。第2问:条件是“几何体的体积为”,怎样求几何体的体积呢?通过补形.第3问:(1)探求性的问题,如何处理?分析下结论证明。 (2)若在线段上存在点,使与垂直。由三点确定的平面交于。由于与垂直,只要与垂直即可。 (3)在直角梯形中可求线段的长。【解题过程】解:(1)在长
4、方体中,可知,则四边形是平行四边形,所以。因为分别是的中点,所以,则,又面,面,则/平面。(2). (3)在平面中作交于,过作交于点,则. 因为,而,又,且. .为直角梯形,且高.BADPC3如图,在四棱锥中,平面,。(1)求证:;(2)在线段(不包括端点)上能否找到一点,使平面;(3)求点到平面的距离;(4)求四棱锥的外接球的表面积。【启发谈话与引导分析】第1问:平面可得到哪些结论?欲证,可从两个角度入手:方案一:计算的三边长,用勾股定理判定。怎么求?方案二:先证线面垂直。平面吗?第2问:从形上直观感觉不存在,可考虑用反证法说明理由。若平面,又平面,则平面平面,与题设矛盾。第3问:方案一:直
5、接作出垂线段。点到平面的距离与中点到平面的距离有什么关系?到平面的距离与到平面的距离相等吗?如何作出到平面的垂线段?方案二:类比平面几何中利用三角形等积法求高,立体几何中利用三棱锥等积法求高。吗?面积如何求?第4问:外接球的球心到四个顶点的距离相等,利用与均为直角三角形,分析出球心是线段的中点。【解题过程】(1)证明:因为平面,平面,所以。由,得。又,平面, 所以平面。因为平面,故。(2)假设平面因为,平面,平面,所以平面。又平面,所以平面平面。这与平面平面于点矛盾,所以在线段(不包括端点)上不能找到点满足题意。(3)设点到平面的距离为。三棱锥的体积为。的面积为。由,得,故点到平面的距离为。(4)因为与均为直角三角形,故球心是线段的中点,半径。所以。