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1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761171.1 映射与函数授课次序01教 学 基 本 指 标教学课题1.1 映射与函数教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点函数概念与性质、初等函数教学难点函数的几种特性参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学集合：set；元素：element；空集：empty；子集：subset；补集：complement；区间：interval；闭区间：closed interval；邻域：neighborhood函数：function；定义域
2、：domain of definition；值域：range of function；一元函数：function of one variable ；多元函数function of several variables课堂教学目标1 深入理解函数的概念，深入理解分段函数、复合函数的概念。理解复合函数的复合过程。2熟练掌握基本初等函数及其图形，会从简单问题的分析中建立出一个数学模型教学过程1课程开始前的讲话（10min讲解课程性质，提点学习方法，动员学生积极投入新课程的学习）2集合的概念（5min）3映射的概念（5min）4函数的概念（10min）5函数的特性（15min）6复合函数与反函数（15m
3、in）7基本初等函数的性质及图形（15min）8初等数学模型（15min）。本 节 教 学 设 计 1、集合概念及其运算知识点：集合的概念与表示方法、集合的关系与运算1. 背景知识与引入方法“集合”是数学中一个最基本的概念。 19世纪70年代德国数学家康托（G. Cantor，1845-1918）创立集合论之后，集合几乎成为一切数学分支中的基本术语。“集合”是一个不言自明的最基本概念。像数学中“点”和 “线”概念一样，集合本身是一个“不定义”的概念，往往是通过一些直观表述来说明什么是集合。通常我们把“具有某种特定性质的具体的或抽象的事物所组成的总体”称为集合，该总体中的每一个成员称为这个集合的
4、元素。其实，想把“集合”是什么说得很清楚，也并不容易。有人曾提问“由所有不是集合自身元素的事物组成的总体是不是一个集合？”即所谓集合悖论（参看扩展知识：罗素悖论）。鉴于“集合”概念的基础性和直观性，建议在高等数学课程中开门见山地利用实例引入集合概念。进而引入集合的关系与运算，建立各种运算法则，介绍与本课程有关的各种概念和术语。文氏图是描述集合的关系与运算的一种直观方法，建议使用文氏图做辅助说明。2. 该知识点讲解方法讲解方法一：淡化处理方式较早期的高等数学或数学分析教科书中，基本不涉及集合的概念，如江泽坚数学分析，复旦大学数学分析，P. Lax 微积分及其应用与计算等。这些教科书采用的体系是：
5、首先介绍“变量”概念，引入“实数轴”特性，直接利用不等式描述区间、邻域等基本概念。鉴于集合论在近代数学理论中的基础作用，在高等数学中回避集合概念，将会使学生知识结构不够完整，形成数学基本知识上的空白。讲解方法二：简要处理方式21世纪理工科大学生的数学知识结构中，了解集合概念、掌握集合之间的关系与运算是不可或缺的，甚至现在的中学教科书也已经开始使用集合术语，进行集合概念的启蒙教育。在进入大学后的第一门数学课 高等数学课程中较为系统地介绍集合论初步知识是必要的和可行的。问题是在本课程中涉及多少集合论内容比较合适？涉及的深浅程度如何？考虑到学时的制约和课程的主要内容并非以集合为基本工具，可以采用“简
6、要处理”的方式进行教学：罗列出集合的主要概念和法则，不加证明，而是通过实例加以说明，也不作更深入的引导。同济大学高等数学（第四版）等许多教科书都采用了这样的做法。对集合概念作最简单的描述，简要介绍集合运算及相应的运算法则，迅速过渡到“区间”和“邻域”概念。讲解方法三：略深化的处理方式纵观工科数学的教学体系，会发现集合的思想和集合论这一重要工具其实是支离破碎的，没有哪一门课程对其作过较为系统的介绍。我们认为在高等数学中完成这一任务，可能是“义不容辞”的，还可以在概率统计课程中再进行深化和具体应用，这也符合认识规律。因此，根据不同学校的不同层次，也可以适当多介绍一些集合论的内容与方法。工科数学分析
7、等教材采用了这样的处理方法。主要强调了集合的运算公式和集合等式的证明，并介绍了比较重要的“对偶原理”。3难点问题及解决方法本知识点的难点： 集合运算。解决的主要方法： 掌握集合运算律，需要有一定的练习强度。通过设计较适用的练习题来解决。4与其他知识点的关联 集合概念提供高等数学的基本术语和基本表述方式。5扩展知识：罗素悖论与第三次数学危机19世纪末，康托的集合论已经得到数学家们的承认。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。但是，正当大家兴高采烈地庆贺数学的绝对严格时，数学王国爆发了另一次强烈的地震，这就是第三次数学危机。英国数学家罗素（Russell Bert
8、rand 18721970）于1902年发现了集合论的一个悖论。在介绍罗素悖论之前，请首先注意这样一个事实：一个集合可以是它自身的元素，也可以不是它自身的元素。如：“抽象概念的集合”还是一个抽象概念，“所有集合的集合”还是一个集合，这些集合也是它自身的元素；“所有人的集合”不是一个人，“所有星的集合”不是一颗星，这些集合不是它自身的元素。罗素指出： 设 M = 集合A | A是它自身的元素， N = 集合B | B不是它自身的元素那么，集合N是不是它自身的元素呢？如果N是它自身的元素，知N是M的元素，从而N是它自身的元素，依N的定义知N不是它自身的元素；如果N不是它自身的元素，依N的定义知N是
9、N自身的元素，即N是它自身的元素。无论怎样，我们都得到矛盾。罗素悖论曾以多种形式通俗化，其中最著名的是1919年罗素提出的理发师悖论。某村有一个理发师宣称，他只给所有不给自己刮胡须的人刮胡须。于是出现这样的困境：理发师是不是给自己刮胡须呢？罗素悖论在数学中引起了真正的麻烦。数理逻辑的先驱弗雷格，在刚刚写完他的关于算术基础的二卷巨著时，罗素在信中告知他发现了悖论。接到信后，弗雷格在其著作的末尾伤心地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事情莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书的印刷快要完成时，罗素先生的信就使我陷入了这样的境地。”这样就出现了数学史上的第三次数学危机。2、映射与函数知识点：函
10、数概念1背景知识与引入方法“函数”是数学中最重要的概念之一，是近代数学各分支的主要研究对象，自十七世纪近代数学产生以来，函数概念一直处于数学思想的真正核心位置。人们对函数的认识可以分为四个时期：第一时期为十七世纪初叶以前，其特点是用文字和比例语言表达函数关系。伽利略（Galileo, 1564-1642）在其创建近代力学的代表作两门新科学一书中，大量使用了函数概念，用文字和比例语言表达函数关系。第二时期为十七世纪中、下叶，其特点是把函数当作曲线来研究。法国数学家笛卡尔发现直角坐标系，使变量概念进入数学，促进了函数概念的深化。“函数”（function）一词，由德国数学家莱布尼茨在其1673年的
11、手稿中首次使用，但含义与现在不同。他用“函数”表示任何一个随曲线上变动的点而变动的量，如切线、法线的长度。十七世纪引入的绝大多数函数都是被当作曲线来研究的，我们可以把莱布尼茨建立的概念视为函数的第一个定义。第三时期为十八世纪，其特点是把函数定义为解析表达式。1718年瑞士数学家伯努利（J. Bernulli,1667-1748）将函数定义为“是变量与常量以任何方式组成的量”。1734年欧拉（Euler, 1707-1783）引入符号 f(x)，指出“变量的函数是一个解析表达式，它由这个变量和一些常量以任何方式组成”。欧拉的“解析表达式”定义包括了由加、减、乘、除、开方等代数运算所得到的代数多项
12、式，也包括了三角函数以及指数式等等。欧拉也曾指明“在平面上徒手画出来的曲线所表示的x与y之间的关系为函数”。欧拉还引入了超越函数，定义了多元函数。他把函数分为代数函数和超越函数，有理函数和无理函数，单值函数和多值函数，以及显函数和隐函数等等。十八世纪下半叶，拉格朗日（Larange,17361813）提出分段函数概念。第四时期为十九世纪初叶之后，这时已明确给出了函数的现代定义。1807年法国数学家傅立叶在其热的分析原理中发现“任何函数都可以表示为三角级数”。傅立叶的工作表明，一个不连续曲线可能需要多个表达式表示，或者用无穷多项之和（级数）的形式表示，从而动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时
13、数学界引起了很大震动。柯西（Cauchy,1789-1857）在1821年提出无穷级数表示函数的新定义，指出函数不一定有解析表达式。从此，数学家开始寻求通过变量之间的“对应关系”刻画函数概念，使函数概念从解析表达式中解放出来。1837年德国数学家狄里赫莱（Dirichlet,1805-1859）提出“对于某区间上每一个确定的值x，y都有一个或多个确定的值，则把y叫作x的函数”，这已接近函数的现代定义。十九世纪70年代，康托的集合论出现以后，函数又被定义为集合之间的“对应关系”。这种定义摆脱了“自变量”提法的缺陷，进一步拓展和深化了函数概念，使其易于推广到其它数学分支。现在许多教科书大都采用这种
14、“集合对应”的定义。2 该知识点讲解方法讲解方法一：不强调唯一的 （1）樊映川高等数学讲义中的函数定义：（2）同济大学高等数学（第六版）中的函数定义：在这两个定义中，都没有强调有唯一的实数 y 与 x 对应。讲解方法二：强调唯一的 y，不使用映射概念复旦大学数学分析中的函数定义：它表明两层含义：（1）f 是函数，其作用是把整个 X 变到 Y 里面去，（2）f(x) 是在 x 处的函数值。我们称x是自变量，y是因变量，X是函数的定义域。当 x 遍取 X 内的所有实数时，相应的函数值 f(x) 的全体所组成的范围叫做函数的值域，记为 f(X)。值域并不一定就是Y，它当然不会比Y大，但可能比Y小。
15、讲解方法三：从映射引出函数21世纪理工科大学生的数学知识结构中，应该了解现代数学的基本概念和基金术语，并为今后的数学学习留下必要的接口。 为此，设计了由集合映射导出函数概念的讲解方法，推荐采用。3难点问题及解决方法疑惑: 怎样规定两个映射相等? 有两种说法:(1) 定义域与对应关系相同的映射相等. 这与传统的函数相等的规定相一致, 但不够严谨.(2) X, Y 及对应关系 f 都相等的映射才相等.这实际上是说映射有三个要素, 与传统的说法有些矛盾. 但这种说法比较严谨. 本人倾向于后一种说法, 并建议淡化所谓两个基本要素的说法.4与其它知识点的关联二元函数，多元函数，向量值函数教 学 基 本 内 容课程开始前的讲话前 言：本讲首先是高等数学的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。1、为什么要重视数学学习（1）文化基础数学是一种文化，它的准确性、严格性、
