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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 小学数学奥林匹克竞赛模拟题及解答第一部分三节三、分数数列这一节里，我们要谈谈与分数数列有关的问题。为了化简某些复杂的分数计算，常常需要把某种形状的数或乘积化成若干个数的和或差，以便相互抵消。形如的分数(它也可看成与的乘积)是一个典型的例子。注意到 =-=-，(3.1)就把它变成为两个分数的差。更一般的有= =() =(-) (3.2)例1、计算下式。解：对其中每个分数应用(3.1)式，依次得到=1-；=-；=-；=-； ；=。把以上这99个等式的左、右两边分别相加，仍得到一个等式=(1-)+(-)+()+()，等式右边-与+抵消为0，-+抵消为0
2、，-+抵消为0，最后只剩下1-，也就是=1-=。例2、计算+。解：这次要利用(3.2)式。不难看出有=(-)；=(-)；=(-)；=(-)； =(-)；=(-)。把上面这所有等式左右两边相加起来，得到+=(-)+(-)+(-)=(-+-+-+-)(这里又用到分配律！)。注意上式括号里的对应的有加有减的两项相互抵消，其中+也和前面没有写出来的一项=(-)中的-相抵消，括号里只剩下第一个数及最后减去的；从而得到+=(-)=。例3、1991减去它的，再减去余下的，再减去余下的，如此下去，直到减去余下的为止，求最后剩下多少？解：先把要减去的数量算出来，再决定怎么做下一步。注意每一步计算结果尽量保留原始
3、的形式，不要急于计算成一个数，这样做常常可以便于发现其中的规律。第一次减去：1991=1991第二次减去：(1991-1991)=1991(1-)=1991 (用分配律)第三次减去：(1991-1991-1991)=1991(1-)，利用(3.1)式有1-=1-(-)=1-+=，故第三次减去1991=1991，现在我们看出这个规律是：第n次应减去1991。于是总共应该减去1991+1991+1991=1991(+)(分配律)=1991(1-+-+-)=1991(1-)=1991=1990，因此最后剩下1991-1990=1。例4、在下面的数中找出5个来，使它们的和为1(5个数不许重复，以下同，
4、不再说明)：1，。 (3.3)解：解法一、如果要找一个数，显然只要取1就行了。能不能找到两个数，使它们的和为1呢？这是不可能的，请读者自己讲出不可能的理由。现在我们要试试从中找3个数，使它们的和为1。首先想到取和，由于+=，故第三个数取就行了。因此下面3个数，。 (3.4)就满足我们的要求。做这个题关键的想法是：能不能从(3.4)中这3个数出发，找出(3.3)中5个数，使这5个数的和仍然是1呢？注意到已经有+=1， (3.5)我们只要保留(3.4)的某两个数，而把其中一个数a分成3个数的和，而这可以用(3.5)式及分配律做到，因为=1=(+)(利用(3.5)式)=+(用分配律)=+。 (3.6
5、)这里还用到数列(3.3)的如下重要性质：如果a和b都在数列(3.3)中，那么乘积ab必定仍在(3.3)中。由(3.5)，(3.6)两式就得到+=1。(3.7)要注意的是，究竟应该把，中的哪一个数拆成3个数的和，这是要选择的。比方说，如果保留与，而把写成=1=(+)=+=+，就得到(参看(3.5)式)+=1，而这5个数中，重复出现了一次，不合要求。下面留一个思考题请读者考虑：怎样从(3.7)式给出的5个数找出(3.3)中的9个数，使这9个数的和仍为1呢？解法二、利用(3.1)式给出的形如的分数，写成两个分数的差的形式，我们有=1，这就是+=1。 (3.8)这个方法得到了与(3.5)不相同的又一
6、组解。下面来看一个稍微不同的例子。例5、计算，这里2n表示n个2的乘积，例如：24=2222=16。解：这个题目也可以仿照上面例1的方法来做。我们有(参看(3.1)式的推导)=-=1-，=； ；。把以上这10个等式的左右两边分别相加得到=1-+-+-+-=1-=。另解：注意到这个式子里每一个前面的数恰好是后一个数的2倍，把要计算的式子用字母S来表示，并计算S的2倍，容易得到2S=2()=2+2+2+2+2=1+，(3.9)把上式的结果与要计算的式子S=+对比，不难看出，从S中减去再加上1就得到(3.9)式的结果，所以有2S=S+1-，(3.10)这实际上是以S为未知数的方程。为了去掉(3.10
7、)式右边的S，我们在(3.10)式两边都减去S，仍得到一个等式2S-S=S+1-S，此即S=1-=。在例4中我们指出了：在分数数列(3.3)中不可能找到两个分数，使它们的和恰为1。但是对于小于1的真分数，这种要求是可能满足的，例如=+；=+。等等。但是，并不是所有真分数都可以表示成(3.3)中两个分数的和，请看下例。例6、证明：不可能表示成数列(3.3)中两个分数的和。证明：首先注意到。而数列(3.3)中除了1与外，最大的3个分数依次是，与，但是+=，由于=，因此，除了与1之外，数列(3.3)中其它任何3个分数的和都不可能等于。由此可知，要想在数列(3.3)中能找到两个分数，它们的和等于，那么
8、其中必须有一个是，也就是只可能有=+。由此得到=-=。然而已经是既约分数，它不可能写成的形状，这就证明了不可能表示成数列(3.3)中两个分数的和。但是，对于数列(3.3)中随便哪一个真分数，总可以表示成(3.3)中另外两个分数的和。例7、证明：任何一个形如(其中n2是一个自然数)的分数都可以表示成数列(3.3)中某两个分数的和。证明：由于=(-)+=+，而分数与都在数列(3.3)中，因此上式表明是(3.3)中两个分数的和。例如 =+=+。例6说明了，如果是一个真分数，且分子b1，那么在数列(3.3)中不一定能找到两个分数，使它们的和等于。但是如果不限定用两个，那么它总可以表示成(3.3)中若干
9、个分数的和，下面的例子实际上指出了解这个问题的一般方法。例8、在数列(3.3)中找出若干个分数，使它们的和等于。解：我们有=，所以第一个可取，而(注意11760=25880)-=，(3.11)经过计算有(注意11760=15784)=，(3.12)又有(注意11760=14840)=，所以第二个可取，现在有(利用(3.12)、(3.13)式)-=-=，从而得到=+。习题三1、计算1+2、计算+。3、计算。4、计算。5、计算。6、试在数列(3.3)中找出9个分数，使它们的和为1。7、试在数列(3.3)中找出(1)两个分数；(2)3个分数；(3)7个分数；(4)8个分数，使它们的和都等于。8、试在
10、数列(3.3)中找出几个分数来，使它们的和都等于。习题三提示及部分解答1、利用前n个自然数的求和公式及分数运算有； ，因此1+=1+=2( )，剩下的与例1解法同。2、注意到+=，这一题只要按例1的方法去做即可。3、由于这一题的每个分数的分母由3个相邻自然数的乘积组成，显然要比例1更复杂，不能直接用例1的方法去解决。但是这不等于说例1与这一题毫不相干。由于它们中出现的分数仍有一定程度的共同特点，因而例1的方法应该有某种启示。我们来分析一下例1的关键思想，其核心在于把原来的1个分数分成两个分数的差，利用前后相互同样的分数一加一减加以抵消，从而迅速求出其值。那么，在这一题里是否也可以想办法把每一个
11、分数分成两个分数的差以达到相互抵消的效果呢？尝试这样做：把分成与 的差，注意到-=-=，我们就有=(-)再试第二个分数，我们同样可得=(-) 最后有=(-)把这些等式左右两边分别相加并运用分配律， 我们有=(-)+(-)+(-)=(-+-+-+-)=(-)，这就给出要求的东西了。但我们也可试着这样去做：=- ；=- =-=-。这样分我们就得到=(+)- (+)，用例1的方法马上可以算出第一个括号中式子的值，对第二个括号要稍加小心，根据例2的方法有+=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=()=(+-)。剩下的让读者自己完成。当然还可以象下面这样做：=-；=-； =-；=-。这
12、样分也可以做下去，我们把它也留给读者自己去完成。做完之后，你还可以比较一下哪种方法更好一些。4、本题中每个分数的分母由4个连续自然数的乘积组成，比上一题更加复杂。基本想法仍与上题相同，只是这里有多种不同的分解方法，例如方法一=(-)；=(-)； =(-)；=( -)。方法二=-；=-； =-；=-。方法三=(-)；=(-)； =(-)；=(-)。究竟哪些方法可以求出结果，这些方法中哪一种方法计算起来最简单，这些问题希望读者自己得出正确的答案。在做这一题时，或许有的读者想到用下面这些分解方法：即=(-)或=(-)，我们要请读者考虑上面这两种分法能否求出结果？道理在什么地方？5、这一题既可用例5的第一种方法，也可以采用例5的第二种方法。只不过这次应该计算3S，看3S与S相差多少，这里定义S=。6、解法一：由(3.5)式有+=1。 (1)因而有1=+1=+(+)=+，这就把1写成数列(3.3)中5个分数的和了，再利用(1)式两次即可找到需要的9个分数。解法二：直接用例4的解法二得到7、(1)=+； (2)=+另解：仿上题解法一，直接利用第6题(1)式得=(+)，再用分配律展开又得一解。其余两小题也可仿此去解。(注)关于例7，如果要求找出(n2)表成数列(3.3)中两个分数之和的所有表示方法，可以如下进行。设有=+，这里nAB，显然有
