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1、信息安全数学基础-习题集一一、填空题1、设a=18、b=12,c=27,求a、b、c的最小公倍数a,b,c=.2、求欧拉函数(3000)=.3、设？=9,则模？勺最小非负简化剩余系=.4、设？=11,则模？?的所有平方剩余=.5、设？=22,则模？勺所有原根个数=.6 .设mi,n是互素的两个正整数，则(|)(mn)=7 .设m是正整数，a是满足？?勺整数，则一次同余式：axmb(modm)有解的充分必要条件是。8 .设m是一个正整数，a是满足的整数，则存在整数a,1a1,(?)=1,则使得？?1(mod?)成立的最小正整数?叫做？对模？?.二、判断题(在题目后面的括号中，对的画“，错的画“x
2、”)1、若？是任意正整数，则(?？?)(?)()2、设？?,？?,？?是?密不全为零的整数,则？?,？?,？?白?,|?2|,|?|,|?的公因数相同()3、设？配正整数，若？|?飘U?I或？|?()?4、设？?为正整数，？?为整数，？行?(mod?),?|?？?0,则不三沂od?).()5、1,-3,8,4,-10是模5的一个完全剩余系.()6、设？册素数，模?勺最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.()7、设？?=17为奇素数，模?勺平方剩余和平方非剩余的数量各为8.(8、一次同余方程9?A1(mod24)有解.(9、设？是素数，？是模？?勺原根，若？?三1(mod?)则？
3、是？1的整数倍.()10、设？1,(?)=1,贝M=?,?2,，？?rd?-1构成模？勺简化剩余系.()11 .?上0,则(0,?尹|?|()12 .设？?是两个互素正整数，那么？|?|?则?|.?()13 .设m是一个正整数，a,b,d者B不为0,若admbd(modm)则amb(modm)。()14 .设？次正整数，a是满足(?)=1的整数，b为整数.若?？?；?,?的为模？?勺一个简化剩余系，则？?+b,?+b,?)+b也为模？勺一个简化剩余系.()15 .p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余.()16 .设？的正整数，设?？C?(?)=1,则？?!模？的平方剩余的充要?
4、+1条件是：？hm1(mod?)()17 .3是模7的原根。()18 .设？?？?1,(?)=1,?次正整数，若？?三1(mod?),贝Uord?(?|?()19 .整数集关于整数的乘法构成群。()20 .适当定义加法和乘法，集合0,1可以构成一个有限域。()三、单项选择题(把答案写在题目后面的括号中)1.设？为？?!两个整数，则存在整数？?？使得(？?？=?”面关于?与？线性组合描述错误的是：()A.整数？?取值仅有一组唯一的值；B.整数？?勺线性和所能表示的最小的正整数是？?最大公因数，即?+?(?),彳C.(?的倍数也可以用？?勺线性和表示；D.整数？?？可以使用辗转相除法(欧几里得算法
5、)反推得到。2、下面关于整除的描述错误的是：(A. 1是任何整数的因子；B.设？?？e?(整数集合),cwo?|?|?贝ij?|?C.0是任何整数的倍数；D.设?e?若？?|?w0,贝u?-?-?|-?3、下面的说法正确的是：()A.给定一个正整数？密口两个整数？?？若？A?(mod?),则(?-?)|?B. 设？?？为整数，若？A?(mod?),(?=1,2,?),M?行?(mod?,?%,？?);C. 设?1,?2是两个正整数,若?1?,?2?分别遍历?1,?2的完全剩余系,则?2?1?+?1?2?遍历模?1?2的完全剩余系；D.设？先素数，？先任意正整数,则？7?-1m1(mod?)D.
6、 下面哪个集合是模12的简化剩余系？()。A.1,3,5,7B.1,5,7,9,C.1,5,7,11D.3,5,7,11。S. 一次同余方程31000?行9(mod27)的解数是()A.3B.2C.1D.06、下面的说法正确的是：()A.一次同余方程21x三55(mod77)有解;B、一次同余方程？行6(mod15),等价于求解一次同余方程组：B2(mod3)的初的解；?行3(mod5)c、一次同余方程组吗吵、有且仅有唯一的解；?行20(mod23)D.设？?提正整数，对于一次同余方程组？mod?,?1,2,3,若(?,?)?=1,则同余方程组一定有解。(?2, ?)= 1, 则下列说法错误
7、的是 :()?2?是模?的平方非剩余, 则 ?1?2是模?的平方7、设?是奇素数,(?1,?)=1,A. 如果?1是模?的平方剩余,剩余.B. 如果?1是模?的平方剩余,?2?是模?的平方非剩余,则?1?2是模?的平方非剩余.C.如果？?,？?都是模？?勺平方剩余，则？?是模？?勺平方剩余.D.如果？?,？?都是模？?勺平方非剩余，则？?是模？酌平方剩余.8、下面说法，错误的是()A、设p为奇素数，设？C?(?)=1,若？?21m-1(mod?),方程？2三?(mod?方程肯定无解；B、设？?是奇素数，整数？?两两互素.若？既是模？?勺平方剩余也是模?勺平方剩余，则？不是模？?平方剩余；G设？
8、?是奇素数，整数？?两两互素.若？既是模？?勺平方剩余也是模?勺平方剩余，？既不是模？?勺平方剩余也不是模？?勺平方剩余，则？?不是模？?勺平方剩余；D、设？?！奇素数，(？?？=1,只有？m?(mod?和？2三?(mod?同时有解，对于二次方程？三？?(mo?期有解。9、已知5对模17的阶为16,5X5三8(mod17),求ord17(8)的值是()A2B、4C、6D、810、下面说法错误的是()A、设？是一个正合数，？?=0,1,2,3,？1,则集合？?入0对于乘法：?=?x?mod?构成一个交换群；B、设？是一个正整数，令？?=,-?,，2，-1,0,1,2,?；,即？?!所有整数的集合
9、.对于通常意义的加法(+),?是一个交换群；C、设?!一个素数，？?=？?/?0,1,2,3,？21,?=?0,?是模？?的最小非负简化剩余系.则集合？?对于乘法：?=?x?mod?构成一个交换群；D设？是一个奇素数，？?=0,1,2,3,？1,则集合？?*0对于乘法：?=?x?mod?构成一个有限域。11.设a,b,c是三个整数，c为且c|a,c|b,如果存在整数s,t,使得sa+tb=1,则()。A.(a,b)=cB.c=1C. c=sa+tbD.c=112.设a,b,c是三个不全为零的整数。如果a=bq+c,其中q是整数，则有()。A.(a,b)=(q,c)B.(a,b)=(b,c)C.
10、(a,b)=cD.(a,b)=(a,c)13.下面哪个集合不是模5的一个完全剩余系？()。A.1,3,5,7,9B.2,4,6,8,10C.0,1,2,11,13D.0,1,2,13,19。14 .下面哪个集合是模18的简化剩余系？()。A. -1,5,7,11,13,17B. -1,5,9,11,13,15,17C. -5,1,5,7,11,17D. 1,3,5,7,9.11,13,17。15 .满足56三18(modm)的正整数m(m2用个数是()。A.1B.2C.4D.516. 30模23的逆元是()。A.23B.19C.10D.417 .下列一次同余式无解的是()。A. 12xm3(m
11、od16)B. 8x=9(mod19),C. 78xm30(mod98)D. 111x=6(mod51)。18 .下面哪个是模13的平方剩余？()。A.5B.10C.11D.719下面各组数中，均为模14的原根的是()。A.2,3,4,5B.3,6,8,10C.9,11,13D.3,520.定义运算？：？?？=?x?modl2),下面哪个集合构成一个群.()A.1,2,3,4B.1,3,5,7C.1,5,7,9D.1,5,7,11四、简答题1.设?=15,?=101,求整数?,?,?使得?+?=?(?,?.)(给出具体求解过程)2 .设？?？?1,(?)=1,?必正整数,贝U?三1(mod?)
12、的充分必要条件是ord?(?)|?.给出充分性的证明.3 .计算71005(mod15)。(给出具体求解过程，提示：可用欧拉定理或也可中国剩余定理进行求解)4 .求7模26的阶ord26(7)，并给出所有模26的阶为ord26(7)的整数g(1g=(?/?=?|?要?,(?,?)=1,也即模?的最小非负简化剩余系?.则集合?对于乘法:?=?X?是否构成一个交换群？(请给出详细求解判断过程)7 .a=42,b=164,求a和b的最大公因子(a,b)及整数x和y,使(a,b)=ax+by.8 .证明：设？物正整数，？?先整数，？?？?？(mod?).若(?？?)=1,贝?行?(mod?).9 .结
13、合欧拉定理和模重复平方算法(或者平方乘算法)计算62025(mod41)10 .写出模17的所有平方剩余。11 .计算5模19的指数ordi9(5)。12 .设不可约多项式？?？=?+?+1,集合G=?三1,?三？2三?+1.若定义乘法：？?=?x?(?(?明群的定义，判断G,是否构成一个群。五、综合题(备注，每题必须给出具体求解过程)1 .解一次同余方程175xm41081X7(mod133).2 .由GF(2)上的4次不可约多项式？(?？=?+?+1构成有限域？?伪,GF(24)中16个域元素，0除外，其余元素可用？?勺幕次方来表示：? = 1? =?,?2 三？?三？?三(?5 三？ + ?+ 1,?=(),?7 三？? + ?+ 1,?=?+ ?+ ? ?三 ,?0 三？ + ?,?1 三？ + ?+ 1,?2 三？?+ 1, ?
