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1、8.6空间向量及其加减、数乘和数量积运算1. 空间向量的有关概念空间向量：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量.(2) 零向量：规定 的向量叫做零向量.(3) 单位向量：的向量称为单位向量.(4) 相反向量：与向量a 的向量，称为a的相反向量，记为一a.(5) 相等向量：的向量称为相等向量.(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+b=； (a+b)+c=.2. 空间向量的数乘运算(1) 向量的数乘：实数久与空间向量a的乘积扁仍然是一个向量，称为向量的数乘. 当久 0时，入a与向量a方向相同；当A 0时，入a与向量a方向相反. 入a的长度是向量a的长度的 倍.(2) 空间向量的数乘
2、运算满足分配律及结合律： 分配律：A(a+b)=. 结合律：AQa)=.(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行 向量(4) 共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b/0)，ab的充要条件是.(5) 空间直线l的方向向量：和直线I 的非零向量a叫做直线l的方向向量.空间直线的向量表示：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O,点P在直线 l上的充要条件是 ，特别地，如果a = AB，则上式可以化为 O = OA + tAB，或 ，这也是空间三点A，B，P共线的充要条件.(7) 共面向量：的向量叫做共面向量.(8) 空间共面向量
3、定理：如果两个向 量a，b不共线，那么向 量p与向量a，b共面的充要条件 是 推论：对空间任意一点O和不共线的三点A，B，。，满足向量关系式，其中 ，则点P与点A，B，C共面.3. 空间向量的数量积运算空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作ab，通常规定，0Wa，bWn.对于两个非零向量a，b， ab .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a-a=lallalcos a， a=.(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律： (Aa) b=； ab=(交换律)； a (b+c)=(分配律).1. (1)大小 方向(2)长度为0 (3)模为1(4) 长度相
4、等而方向相反(5)方向相同且模相等 (6)b+a a+(b+c)2. (1) 1入1 (2)血+仆 (入u)a (3)互相平行或重合(4)存在实数兀使a=kb(5) 平行(6)存在实数，使OP=OA + ta QP=(1-t)dA + tOB (7)平行于同一个平面(8)存在惟一的有序实数对(x,力，使p=xa+ yb * . * . *. .OP=xOA+yOB+zOC x+y+z=13. (1)lallblcosa, ba-b=0 (2)0 (3)|ab (4)A(a-b) b，a ab+ac基础自测小晶全活牛刀1、试寂在长方体ABCDA1B1C1D1 中，BA+Bc+DD1=()_*_A
5、.DBB.DBC.DBD.BD解：BA+BC+DD1 = CD+BC+DD1=BD+DD1=BD1,故选 D.料平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若疝=a, AD=b, AA=c,则下列式子中与相等的是()=c+|(ba)= 1_一 一 一 . *解:B1M=B1B+BM=cc,故选C.翎如图所示，已知空间四边形OABC, OB=OC,且匕AOB=ZAOC=n，则cos .1 . _ .1 一.解：如图所示，MN=2(AdB+JOC)=2(OBOM)+(OCOM)=2(OB+OC2OM)=2(OB+OCOA)=2(b+ aaaaaca).故填 1(b+ca).2m=,
6、 n= (2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面CCRD的中心是F, 若AF=AD+mAB +nAA1，贝解：因为AF=AD+DF=AD+2(DC+DD1)=AD+2(AB+AA1)=AD+2AB+2AA1，所以 m=n=2,故填2； 2*典例解析分类解折触类旁瓯类型一空间向量的运算（2017枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA =，试用a, b,a, AB=b, AD=c, M, N, P分别是AA1，BC, C的中点，试用a, b, c表示以下各向量：.(1) AP(2) M+NC.*一、 一 .
7、. .一一 1_. 一 1. 一 1 一解：(1)因为 P 是 CD的中点，所以AP=AA+A1D1+D1P=a+AD+2DC1=a+c+2AB=a+c+2b.(2)因为M是AA的中点， 1所以 MP=MA + AP=2A A + AP=?a+(a+c+2b)=?a+b+c.2722、1 , 1.,22“ I 2 | c.一 11 .一又 NC1=NC+CC1=2BC+AA1=2AD+AA1a,所以 7(7p+?/c1=2fl+2A+cj+2c23 ,13=2a+砂+尹【点拨】把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变，在解题过程中，要明确目标，把所求 向量向三个基底向量转化，并注
8、意向量拆分和重组的技巧.若表示的向量涉及线段的中点，可利用平行四边形 法则来表示此向量，也可利用包含要表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量 得到相关式子；求空间若干向量之和时，可通过平移，将它们转化为首尾相接的向量.如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB=a, AD=b, AA=c, E为AR 的中点，F为BC1与B1C(1)用基底a, b, c表示下列向量：DB1, BE, AF；(2)在图中画出DD1+DB+CD化简后的向量.的交点. BE=BA + AA1 + A E =a+2b+c, AF=AB+BF=aj(b+c)A =a+2b+2c.,_、
9、.A.AA. a.A 、(2)DD1 +DB+CD=DD1+(CD+DB) 一. .一. =DD1+CB=DD1+DA1=DA1.连接DA1,则D即为所求.类型二空间向量共线与共面问题GE1 (1)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G ABC1D的重心. 试证A1，G，C三点共线； 试证A1C平面BCD； 求点C到平面BCD的距离.解：证明：由于正万体ABCDA1B1C1D1是平行六面体，所以CA1 = CA+AA1 = CB+CD+CC1. 又因为点G为BC#的重心，所以无=3(曲+&+5)=1房1.故CGCA1,即A1, G, C三点共线. 证明：设CB=b, CD= c
10、, CC1=d,则lbl = lcl = ldl，且 bv=b/=od=0.因为 CA=CB+CD+CC=b+c+d,BC1=BC+CC1=d-b,所以C4 BC1=(b+c+(d-b)=2-2=0.所以(CAJC, 即 CA1BC1.同理可证CABD.又 BC1ABD=B，所以 CA1 面 BCD. 由上面的证明知点C到平面BC1D的距离为CG.因为CAA1=b+c+d,所以Ica l = ：/3a.所以l_ 1l - l_邕1所以 CG =3 CA = 3 a（2）正方体ABCDA1B1C1D1中，E, F分别为BB1和A1D1的中点.求证：向量，样,跃是共面向量.证明：因为E=Eab+b
11、ax+ F1 A A 1 -=2BBAB+2AD11,. -、1=2（BB+BC） AB=2BCAB,一 一 * 一 、一 一所以向量刀, BC，EF是共面向量.【点拨】（1）利用平行向量的充要条件可解决三点共线和线线平行等问题，要注意空间向量基底的选取，同时要 重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题 的过程.通过向量的数量积运算，可证明垂直问题，亦可计算直线与平面所成角、异面直线所成角以及距离等 问题.（2）要证向量，B1C，跃是共面向量，只需证得EF=入+ 口林，解题的关键是寻找有序实数对。， u）满足上述关系式.（1）（2017沈阳
12、市外国语学校月考）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB, AD, 茹是（）A. 有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解:因为AD1AB1=B1D1=BD，所以AB, AD, BD共面.故选 C.（2）（2017大连市旅顺中学月考）设空间四点O, A, B, P满足Op=mOA+ndB，其中m+n=1,则（）A. 点P 一定在直线AB上B. 点P 一定不在直线AB上C. 点P不一定在直线AB上D. 以上都不对解：由题意知 m+n=1,则 m=1-n.所以GP=(1n)OA+nQB，即dp-dA=n(OB-dA).所以矛=疝，即 APAB.又因为AP与AB有公共点刀
13、，所以A, B, P三点共线，即点P在直线AB上.故选A.类型三利用数量积求长度问题E)(2017保康县第一中学月考)正四面体ABCD的棱长为2, E, F分别为BC, AD中点，求EF的长.解：|EF|2 = (EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC CD+EC DF+CD DF)=12+22+12+2(1 X2Xcos120+0+2X1Xcos120)=2,所以lEF=2，所以EF的长为【点拨】要求一个向量的模，就需要把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方等于向量的模的平方可 求出模的平方，进一步求出模.这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响.如图所示，已知在一个60的二面角的棱上，有两个点A, B, AC, BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm, 求 CD的长.解：因为CD=CA+ AB+BD=AB-AC+BD,-, . . 、所以 CD2=(AB-AC+BD)2=(AB - AC)2+BD2+2(AB - AC)-BD=AB2+ AC2-2AB AC+BD2+2AB BD-2AC BD= 16+36+64-2X6X8Xcos60
