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1、康托对角线法以及区间套法并没有证明实数集合不可数的一个极其简单、明确的证明及其逻 辑问题分析西北工业大学前逻辑与人工智能研究所（西安市，710072）沈卫国内容摘要：在前期一系列论文的基础上，提出康托对角线法以及区间套法在证明实数集 合不可数过程中的一个明显逻辑问题。康托对角线法在实数的小数表示法每位的多值性前提 下在对角线上通过逐位求反得到的那个原序列之外的著名实数，却完全可能是一个有理数。 而有理数是可数的，所以，在这种情况下，我们当然不能在假设列出所有有理数的情况下就 宣称证明了有理数不可数；类似地，我们也不能在假设列出所有实数或无理数的情况下，就 宣称证明了实数或无理数不可数。原因很简
2、单，此时对角线法在对角线上得到的新数是可数 的有理数，因此无法证明无理数究竟是否真的没有被全部列出（也就是不可数），而如果我 们假设对角线上逐位求反后只允许产生无理数，则这无疑等于附加了对角线法的一个硬性假 设。这明显会使其反证法的运用出现问题，整个证明也不成立。区间套法本质上与此类似。 实数集合的不可数性尽管广为人们所接受，但其造成的问题很多。它使所谓的数学基础变得 极其庞杂繁复并充满矛盾。甚至比指望其提供坚实基础的其它数学分支还要复杂混乱，这只 能说明该理论本身有问题。本文的价值，与罗素当年提出罗素悖论类似。将使集合论、数学 基础、数理逻辑、数学哲学、人工智能等相关问题获得澄清与发展。关键
3、词：康托对角线法；区间套法；实数；无理数；有理数；可数；不可数；证明、康托对角线法以及区间套法并没有证明实数集合不可数的一个简单证明笔者的一系列文章早已证明康托对角线法并没有证明实数集合不可数。这里给出一个更 加简单、明确的证明。此证明的基本思想在以往笔者论文中也有涉及。此处更加强调一下。我们说，要想证明一个集合不可数，无论用什么方法，都不能用一个属于可数集合的元 素甚至整个可数集合在该集合之外来证明。比如要证明实数集合或无理数集合不可数，是不 能通过指出有一个有理数（更明显地，自然数）甚至全部有理数都不在所列出的实数或无理 数集合中来实现的。因为在已经列出的实数中缺少有理数，固然说明实数没有
4、被全部列出， 但其缺失的仅仅是可数的有理数部分，此时实数中的无理数部分并没有被证明其未被全部列 出，而实数集合中如果仅仅是可数的有理数没有被列出，并没有证明无理数也没有被列出， 也就是并不能证明实数集合不可数：因为无理数而不是已被证明是可数的有理数没有被列 出，是无理数进而实数不可数的必要条件（注意，并不是充分条件。也就是即使有无理数未 被列出，也不就证明了实数不可数了。笔者以往的论文，大部分是针对此点展开的。而此文 是着重必要条件展开的）。而某个无论其可数与否的集合加减有限甚至可数无限个元素后， 其可数性不变。这里可以举更直观些的一个例子：如果我们要想证明所有负数不都在这里， 我们必须要找出
5、不在这里的负数。如果我们仅仅证明或指出不在这里的是个（或“些”，甚 至“全部”）正数，能得到负数不全在这里的结论吗？当然不能。因此，由康托对角线法如 果可以证明实数集合不可数，必须满足对角线上新产生的那个实数必须是个无理数，而不能是有理数。但此点如何保证？其实并没有任何理由可以排除对角线上不会产生有理数。正如 没有任何理由可以排除对角线上不会产生无理数一样。因为对角线上由求反（不失一般性， 这里指在二进制下，下同）下产生的那个实数的前n （可任意大）位循环，也不可能断定后 面就一定循环；或者无论有多少个0，也不能断定其后就还是0。反之，前n位不循环，也 不能证明到其后某一位后开始循环了，或者全
6、部是0了，也就是是个有理数了。于是，康托 对角线法失效。也就是康托对角线法的必要条件“对角线上求反得到的必然是个无理数”的 要求是无法被确定、证实的。它甚至根本就是错的，因为前文已述，没有任何理由认定有理 数不会在对角线上被求反产生。或者更直观些，我们起码需要一条假设作为整个证明的必要 条件：对角线上由求反得到的那个不在已经列出的实数之列的新实数是个无理数。可如此一 来，康托对角线法就实质上需要两条假设了： 一条是传统的实数可数，也就是可以全部地列 出所有实数，特别是无理数；而另一条是对角线上新产生的数为无理数，这等价于命题有 不在原列表中的无理数存在”（再一次强调，这个命题在这里不是作为证明
7、结论，仅仅是一 个假设）。也就是全部无理数可列出同时也不可列出，两个假设直接矛盾。因此康托对角线 法的假设就有问题，整个证明自然不能成立。此处再用简洁的语言复述一遍这个证明:如果康托对角线法对实数不可数的证明是正确 的，就必须首先证明其对角线上求反产生的那个数是无理数（作为必要条件。而且总是无理 数）。但这个“证明”是给不出的，其反命题倒更合理（会产生有理数）。而如果产生的是 有理数，原先所列出的起码就有可能是全部无理数。也就是无理数可能可数。因此，用康托 对角线法求证实数不可数的必要条件不具备，康托对角线法证明实数不可数的证明不能成 立，其结论是错误的。得证。还必须强调一点：仅仅以某种方式列
8、不出某集合的全部元素，并不就是不可数。必须在 任何方式下都列不出才是不可数。一些人经常有意无意地把二者相互混淆，因此自然得不到 正确的结论。否则任何无穷集合，都可以在某种对应方式下得到其一个真子集，那岂不是所 有无穷集合都成了不可数集了？总之，由于康托早已证明了有理数是可数的，那么，再像他那样仅仅一般性地假设所列 出的（也就是可数的）是包括可数的有理数在内的全部实数就欠明确。而且更重要的是，对 角线上由求反得到的那个数，固然是一个一般意义的实数，但被严重忽视的是，它必须是无 理数，如此康托对角线法才具备了其成立、有效的必要条件（注意，还不是充分条件！）， 而此点恰恰无法证明。如果强行“规定”，
9、那就构成了康托对角线法的另一条假设（也可以 说康托对角线法本身就“隐含”了这条假设），对两个有着逻辑“与”关系的假设使用反证 法，是得不到只否定一个假设的目的的，这是逻辑常识。也就是说，仅仅知道或者“证明” 有一个包括已证可数的有理数在内的一般意义的实数在所列实数之外是远远证明不了实数 不可数的。只有能够证明有一个无理数在所列实数（或无理数）之外才可以使这个证明具备 起码的必要条件。而这点恰恰做不到。因此康托对角线法的整个证明不成立（不具有必要条 件）。其实正如笔者以往一系列论文及著作所指出的，康托对角线法即使具备了这个必要条 件，也不满足充分条件，因此也还是不成立。但这是另一个问题了。有兴趣
10、的读者可参考笔 者以往文章。此处仅简单介绍一下基本思路：其实，康托对角线法成立的充分条件，正是改 变实数可数的定义。也就是实数可数，就是全部实数可与多进制下每一位可有多值的全部小 数位一一对应。但显然可数的定义没有涉及如此具体的对应关系。既然对角线法假设了全部 实数都被列出，那它们自然可以与全部小数位一一对应。但被忽视的是，此时每一位的状态 必须只有一个，也就是单值。因为已经做出了实数可数的假设。如果此时允许每一个小数位 改变状态以产生不在原列中的新的实数，则等于做出了一个假设，即原列出的并不是全部实数，而这与前面的那个假设（全部实数已被列出）直接冲突。因此，这不是由反证法得到一 个相反的结论
11、，而是等于还没有展开证明就提出了一个与原假设相反的另一个假设。因此证 明不成立。为了加深理解，这里还可以举一个对等的例子来说明。仿对角线法的做法，我们完全可 以同样假设“所有有理数可数（其实也已经证明了其可数，但这是另一个问题），它就可以 排成一列”，此时对角线上新产生的实数同样可以是无理数或者有理数。如果是无理数，则 当然无法证明全部有理数没有或不可能已经列出了（也就是不可数）；而如果新产生的是有 理数，则也没有证明有理数就不可数，因为有理数早就用其它方法被证明是可数的了，这里 证明的，只是这里的这个有理数列表所列出的只能是一个不完备的有理数集，也就是有理数 并没有像假设的那样被全部列出。同
12、理，把如果列出的是无理数或实数，对角线上新产生的 如果就是一个无理数，也不能证明无理数不可数，而只能证明这里列出的不是无理数的完备 集，也就是仅仅是无理数的一个真子集而已。以上这个例子，还可以彻底排除那种所有的排 列都一样，只要能够哪怕一次在对角线上产生无理数就足以证明实数不可数的潜在想法。因 为如果真的如此，同理，对有理数也应如此，但事实上其并不如此。这里顺便提一下区间套法证明实数不可数的问题。事实上，同理，区间套法也没有证明 实数不可数。因为正如康托对角线法新产生的那个实数不能排除是有理数一样（如果一旦用 “规定”去排除，就成了一个证明的新的附加假设了）由区间套定理得到的那个属于所有区 间
13、套的实数（线段中的一点），也完全有可能是有理数。此时仿上面对康托对角线法的分析， 就没法证明那些挑出来分别不属于各个区间的实数序列是不可数的；另一方面，如果我们也 完全可以挑出作为实数子集的一个分别不属于各个区间的有理数序列，此时如果在所有套中 的那个实数是个有理数，但我们能就此认为那个有理数序列是不可数的吗？当然不能。因此， 区间套法在本质上与对角线法是一样的，也没有证明实数是不可数的。此外，我们知道无论无理数与有理数都是“稠密的”，因此任何两个无理数间，都有无 限个有理数，反之亦然。如果无理数多于有理数（不能一一对应，无理数不可数而有理数可 数），只有存在两个无理数间再没有有理数才有可能。
14、但事实并非如此。因此，如果实数不 可数，进而有理数也必不可数。但有理数是被证明了可数的，因此，无理数也只有可数。于 是，这不但可看作实数不可数未被证明的一个证明，甚至可以看成是实数可数的一个证明。二、康托对角线法及区间套法在反证法的运用上的隐性错误的逻辑分析众所周知，康托对角线法首先是作了一个假设“如果实数可数”，然后显然是不假思索 地认为在有了这个假设的前提下，就可以自然而然地、顺理成章地、也就是完全正确地推出 或得到“它就（总）可以排成一列”这一结论。由此之故，实际上就可以把“如果实数可数， 它就（总）可以排成一列”作为一个统一的假设来看待。而康托对角线法的反证法成立的前 提，必须是这个假
15、设本身不错。这样才可以通过证明全体实数不能排成一列来证明实数不可 数。但经过本文前边及笔者历次文章的分析论证可知，恰恰是这个看来毫无问题的前提假设 出了问题。实际情况是，就算实数可数，它也并不总能如康托所愿地排成一列；而不能如此 地排成一列，也不一定就不可数。正如前文已经论证的理由：实数是由无理数和有理数共同构成的，而有理数早就被康托本人证明是可数的了。于是，当对角线上新产生的实数是原本 可数的有理数时（此种可能绝对无法排除），就无法判断无理数是不是都已经被列出了，也 就是无法判断无理数没有进而甚至永远不能被列出。但显然，得不出这个结论，也就是得不 出无理数不可数的结论，也就自然得不出实数不可
16、数的结论。除非我们能够断定在对角线上 新得到的那个实数总是无理数，才能得到无理数永远不能如此排列的结论，也才有了能够得 到无理数（进而实数）不可数的结论（其实也还不一定）的现实基础（必要条件）。但前文 已述，这一点恰恰做不到。我们根本无法保证对角线上产生的总是一个无理数。因此康托的 整个证明结论不能成立。事实上，某种意义上，正是康托对角线法本身，证明了康托对角线 法的结论不能成立，这是由补充被康托本人所忽略的一些细节事实（见前文）进而否定了康 托整个证明的前提（实数可数，它就可以无条件地被列出）来做到的（见前文）。就其本质 原因，笔者在以往所有论文中早就指明：康托的排列，没有排除实数小数每位的多值性，这 实际是康托对角线法的一个“隐含假设”。而这种“每位的多值性”条件，不仅可以“产生” 出不在列表中的无理数，也可以（起码不能排除）产生不在列表中的可数的有理数。此点康 托本人（及其他人）没有发现。如此，必然导致整个证明结论的错误。至于康托对角线法究 竟无意中违反了哪一条逻辑规则，笔者以往论文中早有论述和分析，此处不再赘述
