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1、求逆矩阵的若干措施和举例苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班摘 要 本文具体给出了求逆矩阵的若干措施并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参照。核心词逆矩阵 初等矩阵随着矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习高等代数时，求一种矩阵的逆矩阵是一种令人十分头痛的问题。但是,在研究矩阵及在后来学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一种必不可缺少的知识点。为此，我简介下面几种求逆矩阵的措施，供人们参照。定义:阶矩阵为可逆，如果存在阶矩阵，使得，这里是阶单位矩阵,此时，就称为的逆矩阵，记为,即:措施 一.初等变换法（加边法)我们懂得,n阶矩阵A为可逆的充足必要条件是它能表达到一系列初等
2、矩阵的乘积A=,从而推出可逆矩阵可以通过一系列初等行变换化成单位矩阵。即,必有一系列初等矩阵 使 （）则 ()把A，E这两个阶矩阵凑在一起，做成一种n*2n阶矩阵(A,E）,按矩阵的分块乘法，（1)(2）可以合并写成(A,E）=（，A，）（E, ） （3)这样就可以求出矩阵A的逆矩阵。例 1 . 设= 求。解：由(3）式初等行变换逐渐得到： 于是= 阐明：此措施合用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的长处更明显。同样使用初等列变换类似行变换,此略,注旨在使用此措施求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。措施二. 随着矩阵法定理：矩阵A是可逆的
3、充足必要条件是A非退化，而=，(d=0） (4)我们用(4)式来求一种矩阵的逆矩阵。例 2. 求矩阵A的逆矩阵：已知A 解:d=+6+4-8-12-4=2 =2 -3 =2 =6 =-4 =5 -2用随着矩阵法，得 阐明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都合用,但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆例如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶,此措施更以便。措施 三矩阵分块求逆法 在进行高阶矩阵运算时,常常将高阶矩阵按某种规则提成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算,一方面每一小矩阵又可作为一种元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。引出公式：设的分块矩阵为：T=，其中T为可逆矩阵，
4、则 , （5）阐明:有关这个公式的推倒从略。例 3. 求下列矩阵的逆矩阵,已知 W=解:将矩阵W提成四块,设， B=， C, =,于是 即 B=, C,运用公式(5)，得措施 四. 因式分解法 若，即(A)可逆，且有=， (6）我们通过上式（6)，求出例 .求下面矩阵的逆矩阵,已知:A=，解:由于存在一种K0,使0，把这里的（EA)替代（6)式中的“”,得 =通过计算得 =0，即=4因此 =+ =措施 五.多项式法我们懂得,矩阵可逆的充足必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f（）0,用这个知识点也可以求出逆矩阵。例5.已知矩阵A,且满足多项式(x)=,即 试证明A是可逆矩阵，并求其
5、可逆矩阵。证：由,可得 从而可知A为可逆矩阵,并且措施 六. 解方程组法 在求一种矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式两端相应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。例 6求A的逆矩阵解：求可逆矩阵的逆矩阵X，则它满足AX=E,设,则， , 运用消元解法求 (i1，2,3)解得： 措施七. 准对角矩阵的求逆措施 定义：形如 是矩阵 。 A称为准对角矩阵。其求逆的措施：可以证明：如果都可逆,则准对角矩阵也可逆,且例 7 已知 ,求。解：设= 求得: 因此 措施八.恒等变形法 有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出其逆矩阵之后，才干解决问题。而
6、求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。例 8.已知 , 求，其中, 解:对已知矩阵等式进行恒等变形，得于是，,又由于A是正交矩阵，因此 措施九.公式法运用下述诸公式，可以迅速精确地求出逆矩阵。1) 二阶矩阵求逆公式(两调一除）:若 , 则 2） 初等矩阵求逆公式：3) 对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的逆矩阵 的逆矩阵为：）正交矩阵的求逆公式：若A为正交矩阵，则5)其她常用的求逆公式： 可逆 ，则例9 已知：， ,求。解：由于是初等矩阵,由公式得： 而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：，再由公式得： 到此为止，我已简介了9种求逆矩阵的措施，除此外尚有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其措施不是很简便，在此略。这些措施各有所长,读者可根据实际状况进行选择。固然，除此之外尚有其他措施。但愿能和人们在此后的学习中，共同研究出更以便，更有效的矩阵求逆措施。参照文献:高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。188.3 高等代数一题多解20例/ 魏献祝 编 福建人民出版社。3线性代数学习指引/戴宗儒 编 科学技术出版社。4线性代数解题措施技巧归纳/ 毛纲源 编 华中理工大学出版社。5数学手册/ 数学手册编写组编
