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1、高考数学精品复习资料 2019.5中档大题规范练立体几何与空间向量1 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V(h)2hh3，由VV，得hr.即容器中水的深度为r.2 如图1所示，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的
2、中点现将ABC沿CD翻折，翻折后平面ACD平面BCD(如图2)求三棱锥CDEF的体积图1图2解过点E作EMDC于点M，因为平面ACD平面BCD，平面ACD平面BCDCD，而EM平面ACD，所以EM平面BCD.即EM是三棱锥ECDF的高又CDBD，ADCD，F为BC的中点，所以SCDFSBCDCDBDaa2，因为E为AC的中点，EMCD，所以EMADa.所以三棱锥CDEF的体积为VCDEFVECDFSCDFEMa2aa3.3 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面E
3、DB.证明(1)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点如图，连接EG、GH，又H为BC的中点，GH綊AB.又EF綊AB，EF綊GH.四边形EFHG为平行四边形EGFH.又EG平面EDB，FH平面EDB，FH平面EDB.(2)由四边形ABCD为正方形，得ABBC.又EFAB，EFBC.又EFFB，BCFBB，EF平面BFC.EFFH.ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABCD.FHAC.又FHEG，ACEG.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.4 如图所示，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(1)求证：DM平面A
4、PC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积(1)证明由已知，得MD是ABP的中位线，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)证明因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB.所以APPB.又APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.因为BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.(3)解由题意，可知MD平面PBC，所以MD是三棱锥DBCM的一条高，所以VDBCMVMDBCSBCDMD2510.5 如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，
5、PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F分别是PC，PD的中点，E，F，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，
6、即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.6 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2.E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值(1)证明PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)解如图，以C为原点，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)设P(0,0，a)(a0)，则E，(1,1,0)，(0,0，a)，设m(b，p，m)为面PAC的法向量，则mm0，即，取m(1，1,0)，设n(x，y，z)为面EAC的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)，依题意，|cosm，n|，则a2.于是n(2，2，2)，(1,1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |cos，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.
