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1、一、数列求和的解题方法及技巧研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等差数列和等比数列公式法：等差等比的求和公式（略）1+2+n=n(n+1) 12+22+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2预热：1、求等差数列 -3，-1，1，3，的前n项的和。2、求数列1，2，4，2n的和3、求等比数列1,x,x2,xn-1的和 4、若求数列的前n项的和在应用公式求等差、等比数列的和时，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式典型例题 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an) （区分q值，分a=1和a1讨论）除此之外，
2、还有一些特殊的数列也可以通过一些方法来求数列前n项的和一、分组求和法：若数列an的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列bncn可求出前n项和Sn+Tn。例：1、求数列的前n项的和 2、求数列的前n项的和练习：1、求数列的前n项的和（也可用并项求和法）2、求数列的前n项的和3、求数列的前n项的和（世纪金榜第39页例10类似）二、裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项.常见拆项公式有： 例：1、求和。2、求和3、数列的前n项的和。4、求的前n项的和练习：1、求数列的前n项的和。三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项
3、乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减.例 等比数列求和公式的推导. 例 1、求数列的前n项的和。2、求数列的前n项和。练习 已知数列 an 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, 求数列 an 的通项公式，(2)令bn=an3n, 求数列bn 前n项和的公式。（3改成x呢？）析：an=2n. ，3改成x后要对x进行讨论是否为1四、倒序求和法：将数列的倒数第k 项(k=1, 2, 3, )变为正数第 k 项, 然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等).例 等差数列求和公式的推导.例 已知 lgx+lgy=a, 且
4、Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn, 求 Sn.析 倒序求和法。或对数的运算性质求解练习 世纪金榜P40例14五、分段求和法：如果一个数列是由具有不同特点的两段构成，则可以考虑利用分段求和。例 求等差数列200，199，-100的后400项的绝对值之和。易知，令可得n301,所以练习： 世纪金榜P40例14练习：求的前n项的和设=12+22+32+k2，则数列的前n项的和Sn。求和4、求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 Sn.5、数列中，又，求数列的前n项和。6、已知递增的等比数列 an 前 3 项之积为 512, 且这三项分别减去 1, 3,
5、9 后又成等差数列, 求数列 的前 n 项和.7、求数列的前n项的和答案：1、裂项求和，6n/(n+1) 3 、分析an =21/（2n-1）分组法 4、分析ak=2k3+3k2+k再用分组法 5、同3、4。 6、错位相减法 7、分析通项后裂项相消法二、数列求通项的解题方法及技巧一、叠加相消类型一：形如aa+ f (n)， 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式（a）或可裂项成差的分式形式可移项后叠加相消例1：已知数列a,a0,nN，aa（2n1），求通项公式a 解：a=a（2n1）a=a（2n1） aa =1 、aa=3 、 aa=2n3 a= a(aa)(aa)(aa)=0135(2n
6、3)=1(2n3)( n1)=( n1)2 nN练习1：.已知数列a,a=1, nN，a=a3 n ， 求通项公式a .已知数列a满足a3，nN，求a二、叠乘相约类型二：形如.其中f (n) = （p0，m0,b c = km,kZ）或 =kn（k0）或= km( k 0, 0m且m 1) 例2：已知数列a, a=1，a0,( n1) a2 n a2aa=0，求a 解：( n1) a2 n a2aa=0 (n1) ana(aa)= 0 a0 aa 0 (n1) ana=0 练习2：已知数列a满足S= a( nN), S是 a的前n项和,a=1,求a.已知数列a满足a= 3 na( nN)，且a
7、=1，求a三、逐层迭代递推类型三：形如a= f (a)，其中f (a)是关于a的函数.需逐层迭代、细心寻找其中规律例3：已知数列a，a=1, nN，a= 2a3 n ,求通项公式a解： a= 2 a3 n a=2 a3 n-1 =2(2 a3 n-2)3 n-1 = 22(2 a3 n-3)23 n-23 n-1=2 n-2(2 a3 )2 n-33 22 n-43 32 n-53 4223 n-323 n-23 n-1=2 n-12 n-23 2 n-33 22 n-43 3223 n-323 n-23 n-1 练习3:.若数列a中，a=3，且a=a（nN），求通项a.已知数列a的前n项和S
8、满足S=2a+，nN,求通项a四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解类型四：形如= ，（pq 0）且的数列，可通过倒数变形为基本数列问题当p = q时，则有： 转化为等差数列；当p q时，则有：同类型五转化为等比数列例4：若数列a中，a=1，a= nN，求通项a解： 又 ， 数列 a是首项为1，公差为的等差数列=1 a= nN练习4：已知f (n) = ，数列 a满足 a=1，a=f (a)，求a类型五：形如apa+ q ,pq0 ，p、q为常数当p 1时，为等差数列；当p 1时，可在两边同时加上同一个数x，即a+ x = pa+ q + x a+ x = p(a+ )， 令x = x =
9、时，有a+ x = p(a+ x )， 从而转化为等比数列 a+ 求解例5：已知数列a中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、，求通项a解： a= a+ 1 a2 =(a 2) 又a2 = -10 数列 a2首项为-1，公比为的等比数列 a2 = -1 即 a= 2 2 nN练习5：.已知 a=1，a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4) ，求数列a的通项 . 已知数列a满足a= ，a=，求a类型六：形如apa+ f (n)，p0且 p为常数，f (n)为关于n的函数当p 1时，则 aa+ f (n) 即类型一当p 1时，f (n)为关于n的多项式或指数形式（a）或指数和多项式的混合形
10、式若f (n)为关于n的多项式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c为常数），可用待定系数法转化为等比数列例6：已知数列 a满足a=1，a= 2an，nN求a解：令a+ xa(n+1)+ b(n+1) + c = 2(a+ an+ bn + c) 即 a= 2 a+ (2aax)n+ (2b -2ax bx)n +2c ax bx cx 比较系数得： 令x = 1，得： a+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) a+1+21+3 = 7令b= a+ n+2n + 3 则 b= 2b b= 7 数列 b为首项为7，公比为2德等比数列 b=
11、 7 2 即 a+ n+2n + 3 = 7 2 a= 7 2( n+2n + 3 ) nN若f (n)为关于n的指数形式（a）当p不等于底数a时，可转化为等比数列；当p等于底数a时，可转化为等差数列例7：（同例3）若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4) ，求数列a的通项a解: a= 2 a+ 3 令a+ x3= 2(a+x3) 得 a= 2 ax3 令-x3= 3 x = -1 a3= 2(a3) 又 a3 = - 2 数列是首项为-2,公比为2的等比数列=-22 即a= 3-2 nN例8：数列 a中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4) 试求通项a解： a=3a
12、+ 3-1 a 3 是公差为1的等差数列=+() = +() = n +a= ( nN若f (n)为关于n的多项式和指数形式（a）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形式例如上面的例8练习6:.已知数列a中a= 1,a= 3 a+ n ,; 求a的通项 设a为常数，且a= 32 a (nN且n 2 )证明：对任意n 1，a= 3+ (-1)2 +(-1)2a类型七：形如a= p a+ q a( pq 0， p、q为常数且p+ 4q 0 )，可用待定系数法转化为等比数列例9: 已知数列a中a= 1, a= 2且 ,; 求a的通项解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+
13、x)( a+ a)令x = x+ x 2 = 0 x = 1或 -2当x = 1时,a+ a=2(a+ a) 从而a+ a= 1 + 2 = 3数列 a+ a是首项为3且公比为2的等比数列. a+ a= 3 当x = - 2时, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0 a- 2a= 0 由、得:a= 2 , 练习7：已知: a= 2, a= , ,(n = 1、2、3、),求数列 a的通项 已知数列：1、1、2、3、5、8、13、，根据规律求出该数列的通项五、数列的简单应用.例10:设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点A，则: 投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B的概率是多少? 投了四次骰子,棋子都不在顶点B的概率是多少?
