《习题与复习题详解线性空间----高等代数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题与复习题详解线性空间----高等代数（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题5. 11 .判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加 n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，数乘 n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间.2 .全体正实数 R+,其加法与数乘定义为a b abk oa ak其中 a,b R ,k R判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间 答是.设， R.因为 a, b R a b ab RR,a R oa a R所以R对定义的加法与数乘
2、运算封闭oa ;下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a;(2) (a b) c (ab) c (ab)cR中存在零元素1, a R ,(4)对R 中任一元素 a ,存在负元素abc a(bc) a (b c);有 a 1 a 1 a ；1n a11a R ,使 a a aa 1;o oa oa a aoa a故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则(1 ),全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实oa oa;所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间3 .全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.数域上的线性空间.4 .
3、在P 10a a a ；(6) 2中，W A/ A 0, A P22,判断W是否是P2 2的子空间答否.的行列式不为零也就是说集合对加法不封闭一 1 2 一 1 1 ,例如 和的行列式都为零，但1 23 3习题1 .讨论P2 2中的线性相关性.X3A3X4A4O,ax1X2X3X40X1即X1ax2X3X40X2ax?X40X1X2X3ax40由系数行列式a 1 1 11 a 1 11 1 a 1111a(a 3)(a 1)32，3，4下的坐标.其中X4 41 2 10M 01 1 11M 00 3 01 M 01 1 01 M 11, 2, 3, 4下的坐标为1000M1初等行变换0100M
4、00010M10001M0(1,0 , - 1 , 0 ).知，a 3且a 1时，方程组只有零解，这组向量线性无关;2 .在R4中，求向量在基1,斛设11X22 0X2 X3 X421 1 X2 2 x3 3由 1234 M得 13.故向量在基X33X44则有X1X2X30X4X1X20X30x4X1 0x2 0x3 0x471000M70100M110010M210001M301011,1110 由110 0100 0M 2M 3初等行变换M 4M 77 111 2 21 3 30 4 .故向量在基1, 2, 3, 4下的坐标为-7, 11 , -21, 30)4.已知R3的两组基11=0
5、,3= 0-111(n) :1= 2 ,110 ，求在基32, 3下的坐标；-1（1） 求由基（i）到基（n）的过渡矩阵；（2） 已知向量在基32, 3下的坐标为1（3） 已知向量在基1, 2, 3下的坐标为-1 ，求 在基1, 2, 3下的坐标2（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量解（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵，由知基（I）到基（n）的过渡矩阵为 c 111112002311141（3） 在基1, 2, 3下的坐标为C 1320271（2）首先计算得C(4)设在基3下的坐标为yiy 2 ,据题意有V3解此方程组可得4k 2 3k 35.已知PX4的两组基(I):fi(x)(
6、n)：gi(x)(1)求由基(2)yiyiy2V3yiy2V3y2y3=kk为任意常数.卜为任意常数.x3, f2(x) x3:x , g2 (x) i x(i)到基(n)的过渡矩阵;求在两组基下有相同坐标的多项式)设C是由基(I )到基(n)有(i,x, x2,x3x2, f3(x)f(x).的过渡矩阵(i,x,x2,x,f4(x)g3(x)g4(x)gi,g2,g3,g4fi，f2, f3, f43x )(2)设多项式f(x)在基I)下的坐标为(xi, x2,x3, x4 )T .据题意有C因为C Exixixix2x?x3x3(Cx2 E)x3*)x4x4,所以 f(x) = 0所以方程
7、组(*)只有零解，则f(x)在基(I)下的坐标为(0,0,0,0)习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间R x3同构.证明设线性方程组为 AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换.Q R(A) 2线性方程组的解空间的维数是5- R(A) 3.Rxh同构.实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间习题求向量 1, 1,2,3的长度.- 1解(1) 18, 18 arccos 6.18 ( 1)2 22 32. 15.2.求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.3.d(,).(12)2(0)2 (0 1)2 (1 3)2.7 .求下列向量之
8、间的夹角(1)1,0,4,3 ,1211(2)1,2,2,3 ,3151(3)1,1,1,2 ,3,1,1,01) 0(2)(3)13 111 ( 1)0 3,1-1-1-4|、/9一1一1-0.11,arccos 一 .3.设为n维欧氏空间中的向量，证明 ：d( , ) d( , ) d(,).证明 因为一一 .2o所以 |(| |) 111,2,从而 d( , ) d( , ) d(,).习题41.在R中，求一个单位向量使它与向量组11,1, 1, 1 ,21, 1, 1,1 ，31, 1,1, 1 正交.齐次线性方程组（*）的一个解为1.解 设向量 （X, X2公区）与向量1, 2, 3
9、正交(,1) 0X2X3X40则有(,，2) O即X1X2XX0(*)(,3)0X1X2X3X0X1X2X3X4 *1111取 （1,1,1,1）,将向量单位化所得向量=（,_,_, ）即为所求2 2 2 211(1, 2).1112 11.121(1,1) 彳 1111111113231312,将R1的一组基111解（1 ）正交化，取102 , 31化为标准正交基11(2 )将1, 2, 3单位化* * * 一 一 .则1 , 2,3为R3的一组基标准正交基3.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基 .分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标
10、准 正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 可得齐次线性方程组的一个基础解系1111000 , 21 , 30004001由施密特正交化方法，取11/ 21/311/ 21/31110 , 22 11, 33121/ 3223004001将1， 2， 3单位化得单位正交向量组- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* * *因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以1, 2, 3是解空间的一组标准正交基.3.设1, 2，n是n维实列向量空间 Rn中的一组标准正交基，A是n阶
11、正交矩阵，证明：A 1,A 2 , ,A n也是Rn中的一组标准正交基.证明 因为1, 2, n是n维实列向量空间 Rn中的一组标准正交基，所以t 0 i j(i, j) i j d .(i, j 1,2,L ,n).1 i j又因为A是n阶正交矩阵，所以ATA E.故A 1,A 2, a n也是Rn中的一组标准正交基.5.设1, 2, 3是3维欧氏空间V的一组标准正交基，证明也是V的一组标准正交基.证明由题知所以1, 2, 3是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基.习题五(A)一、填空题当k满足时，11,2,1 , 22,3,k ,13,k,3为R3的一组基.三个三维向量为R3的一组基的充要条件是1, 2,2.由向量1,2,3所生成的子空间的维数为向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组的秩,故答案为1.3.R3中的向量3,7,1 在基 11,3,5 ,6,3,2 ,3,1,0下的坐标为根据定义，求解方程组就可得答案设所求坐标为（x1,x2,x3）,据题意有X22X3为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算初等行变换3,2,115482 ,33所以(X1,X2,X3)= (33,-82,154).4.R3中的基3到基12,1,3 , 21,0,1 , 32, 5,1的过渡矩阵为5.因为（正交
