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1、高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算知识导航学案苏教版选修1-23.2 复数的四则运算知识梳理1.复数的加减法两个复数相加（减）就是把_，即a+bi(c+di)=_.2.复数的乘除法（1）设Z1=a+bi,Z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=_，它们的商(a+bi)(c+di)=_(c+di0)（2）在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi)(c+di)写成_形式，再把分子分母都乘以_.3.共轭复数当两个复数的实部_，虚部互为_时，这两个复数叫做互为_.4.i的幂的周期性i4n=_,i4n+1=_,i4n+2=_i4n+3=_.(nN*)5.
2、常用的1i,w的运算规律.=_,(1i)2=_,=_;设w=i,则w2=_，w+=_，w=_，1+w+w2=_，wn+wn+1+wn+2=_(nZ);w3k= _,w3k+1=_,w3k+2=_(kZ).疑难突破1.复数的减法法则剖析：课本上规定(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,yR)叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数的加法法则和复数相等的定义有即x=a-c,y=b-d.x+yi=(a-c)+(b-di) 在学习复数的减法时，首先类比实数的减法规定复数的减法也是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要根据复数的加法，复数
3、相等的条件就可以得到复数减法的法则.这里实际上使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法.2.复数的除法 在学习复数的除法时，可类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则.规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的复数x+yi,叫做复数a+bi除以复数c+di的商.经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.根据复数相等的定义，有cx-dy=a,dx+cy=b.由此x=,y=于是(a+bi)(c+di)=+i(c+di0)这就是复数的除法法则.而如果在实际进行复数的除法运算时，每次都按照乘法的逆运算的办法来求商
4、，这是十分麻烦的.可以设想解决的办法，类比根式的除法，从而得到简便的操作方法.先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简.典题精讲【例1】 计算（1）+(5+i19)-;(2).思路分析：利用特殊复数的性质进行运算如i的乘方、及w性质的运算、关键是变形.解：（1）+(5+i19)-=+5+(i4)4i2i-=i+5-i-i11=5+i（2）含w=则w3=1 于是=2w=-1+绿色通道：（1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,w3=1,巧用这些性质，可以快速解答许多问题，因此，记住这些小结论将是有益的.【变式训练】（1）计算;(2).思路分
5、析:计算（a+bi)时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1i计算它的n(n大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1i的平方；对于复数计算它的n次方根时，（n为大于或等于3的自然数）常先计算它的立方.解：原式=-i=-i=i-i=0.（2）设w=则w3=wi原式=(wi+w)8=w8(1+i)8=w6w2(2i)4=16w2=16(-)=-8-.【例2】设Z是虚数，w=是实数，且-1w2.（1）求Z的实部的取值范围；（2）设=求证为纯虚数；（3）求w-2的最小值.思路分析：本题考查复数的基本概念及根据基本不等式求最值问题.（1）（2）利用基本概念求解，（3）中不难得到w-2=2a-=2a-1+=
6、2(a+1)+-3再利用均值不等式求得最小值，还要注意结论等号是否能成立.解：（1）设Z=a+bi(a,bR,b0)w=a+bi+w是实数，b0 b-=0.w=2a -1w2 -a1Z的实部的取值范围是(2)=a b0,为纯虚数.（3）w-2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2(a+1)+-3.a,a+10,w-222-3=1,当a+1=即a=0时上式等号成立，w-2的最小值是1.绿色通道：设Z=a+bi将复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想；另外，在利用不等式求最值时，特别要注意三点：自变量是否有范围；等号是否能够成立（在变量的范围下）；要注意恒等变形，配凑成能使用不等式的形式.【变
7、式训练】 设i是虚数单位，复数w和Z满足Zw+2iZ-2iw+1=0，若Z和w又满足-Z=2i,求w和Z的值.思路分析:设复数的代数形式，进而将复数问题转化为实数问题，是解决复数问题时常用的解题技巧.解：-Z=2i Z=-2i代入Zw+2iZ-2iw+1=0得（-2i)w+2i(-2i)-2iw+1=0w-4iw+2i+5=0设w=x+yi(x,yR),则上式可变为（x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,x2+y2+6y+5-2xi=0, 或w=-i,Z=-i或w=-5i,Z=3i.【例3】 已知Z=1+i(1)设w=Z2+3-4求w;（2）如果=1-i；求实数a
8、,b的值.思路分析：（1）采用代入法求出w;（2）代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解.解：（1）Z=1+i,w=Z2+3-4=(1+i)2+3(）-4=-1-i.(2)由=1-i，把Z=1+i代入得=1-i，=1-i,(a+b)+(a+2)i=1+i得绿色通道：通过复数相等的定义，把虚数问题转化成实数问题，是复数重要的数学思想，代入化简时，注意复数的运算技巧.【变式训练】 已知Z1满足（Z1-2）i=1+i,复数Z2的虚部为2，且Z1Z2是实数，求复数Z2的值.思路分析:本题考查复数的乘法，除法的运算法则.解：由（Z1-2）i=1+i,得Z1=+2=(1+i)(-i)+2=
9、3-iZ2的虚部为2，可设Z2=a+2i(ZR)Z1Z2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i为实数6-a=0,即a=6 因此Z2=6+2i.问题探究对于任意一个非零复数Z，Mz=ww=Z2n-1,nN*（1）设是方程的一根，试用列举法表示集合M,若在M中任取两个数，求其和为零的概率P.（2）若复数wMz,求证MwMZ.导思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，化简的依据是i的周期性，即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN)复数的代数形式
10、运算，基本思路是直接用法则运算，但有时能用上特殊复数i或w的一些性质，以及一些常见的结论如(1+i)2=2i(1-i)2=-2i,=i等，可更有效的简化运算，提高计算速度.探究：（1）由方程,得x=当1=+时，w=12n-1=由in的周期性知，w有四个值.n=1时，w=;n=2时，w=;n=3时，w=n=4时，w=.当2=时，w=22n-1=n=1时，w=;n=2时，w=;n=3时，w=;n=4时，w=;不论=，还是=M=则P=(2)wMz则w=Z2m-1 mN,任取xMz则x=w2n-1,nZ,而w=Z2n-1x=(Z2m-1)2n-1=Z(2m-1)(2n-1).(2m-1)(2n-1)为正奇数，xMZ,MwMZ.1
