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1、初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的 辅助线作法编成了一些“顺口溜”歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。#人人都说几何难, 还要刻苦加钻研, 角平分线平行线, 线段垂直平分线, 三角形中有中线, 梯形里面作高线, 证相似，比线段, 直接证明有困难, 半径与弦长计算, 切线长度的计算, 是直径，成半圆, 圆周角边两条弦, 如果遇到相父圆, 若是添上连心线, 基本作图很关键, 切勿盲目乱添线, 虚心勤学加苦练, 难就
2、难在辅助线。 找出规律凭经验。 等腰三角形来添。 常向两端把线连。 延长中线等中线。 平移一腰试试看。 添线平行成习惯。 等量代换少麻烦。 弦心距来中间站。 勾股定理最方便。 想成直角径连弦。 直径和弦端点连。 不要忘作公共弦。 切点肯定在上面。 平时掌握要熟练。 方法灵活应多变。 成绩上升成直线。 辅助线，如何添? 图中有角平分线, 角平分线加垂线, 三角形中两中点, 平行四边形出现, 平行移动对角线, 等积式子比例换, 斜边上面作高线, 圆上若有一切线, 要想证明是切线, 弧有中点圆心连, 弦切角边切线弦, 内外相切的两圆, 辅助线，是虚线, 解题还要多心眼, 分析综合方法选, 把握定理和
3、概念。 可向两边作垂线。 三线合一试试看。 连接则成中位线。 对称中心等分点。 补成三角形常见。 寻找线段很关键。 比例中项一大片。 切点圆心半径连。 半径垂线仔细辨。 垂径定理要记全。 同弧对角等找完。 经过切点公切线。 画图注意勿改变。 经常总结方法显。 困难再多也会减。E是AD的中点,中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密正确熟练地掌握辅助线的作法和规律， 也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线: 例1.已知：在 ABC中，AD是BC边的中线,1AC的交点，求证：AF二丄FC2分析：题设中含有D是BC中点，E是AD切联系的中位线
4、，所以，可有如下 2种辅助线作法：(1) 过D点作DN / CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得11DN二FC，再证 AEFA DEN，则有 AF=DN，进而有 AF= FC221(2) 过 D 点作 DM / BF,交 AC 于 M ,可得 FM=CM , FM=AF ,则有 AF= FC2方法二：分析结论，作出辅助线例2:如图，人。是厶ABC的高，AE是厶ABC的外接圆直径, 求证：AB - AC=AE ADDAB AE 分析：要证ABAC=AEAD，需证-(或 AB AD)，需证 ABE ADC (或 这就需要连结BE （或CE）,形成所需要的三角形, / ABE= / A
5、DC=90 (或/ADB= / ACE=90 )又/ E= / C (或/ B= / E)因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线 例3:过厶ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE： ED=2AF FB分析：已知D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；EF平行的直线。所以,E过 D点作DM / EF交AB于M，可得AEEDAFFM2AF2FM再证BF=2FM即可。方法四：找出辅助线的一般规律,将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮若要出现结论中的 AE : ED，则应有一条与（1）有弦，作“垂直于弦的直径”例如：在“圆”部
6、分就有许多规律性辅助线:AC大圆的弦AB交ED例4:已知，如图，在以0为圆心的两个同心圆中，M 小圆于 C D两点，求证：AC=BD分析：过0点作OE! AB于E,贝UAE=BE CE=DE 即可证得 AC=BD(2)有直径，构成直径上的圆周角(直角)例5:已知：如图，以 ABC的 AC边为直径,作。0交BC BA于D E两点，且CD DE , 求证：/ B=Z C分析：连结AD由于AC为直径，则有 AD丄BC,又CD DE，有/仁/2,由 内角和定理得/ B=Z C(3) 见切线，连半径，证垂直 例6:如图，AB为。0的直径，C为。0上一点，AD和过C点的切线互相垂直,A垂足为D,求证：AC
7、平分/ DAB分析：连结0C由于CD为切线，可知OCLCD易证：/ 仁/ 2,又因为/ 2=7 3,所以/仁7 3,则可得AC平分7 DAB(4) 证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例7:已知，直线 AB经过。0上的一点，并且 0A=0BCA=CB求证：直线AB是。0的切线 分析：连结0C要证AB是。0的切线, 需证0CLAB由已知可证 0ACA 0BC可得7 0CA7 0CB=90结论得证。 例8:已知，梯形ABCD中, AB/ CD 径, BC=CD+AB求证：AD是O 0的切线分析：过0点作0ELAD,垂足为E,要证AD是。0的切线，只要证 0E是。0的半径即可，也就是说
8、需要证 0E=1 BC，由于7 A=9(f, AB/ CD / q 可得AB/ CD/ 0E再由平行线等分线段定理得 DE=EA进而由梯形中位线定理得 OE=1(AB CD) 1bC，所以 E 点在O 0 AC B 上 , AD（二）练习1、已知： 如图，在 ABC中，AA DB AE EC1求证：DE/ BC DB 丄 BC22、已知： 如图27312所示，在梯形ABCD中,AD/ BC AE= BE, Di CF.求证：1EF/ BC EF= - (AD+ BC .23、已知：如图 27.3.13所示，在 ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF互相平分4、如图：已
9、知：AB为。0的直径，弦CD丄AB , M为AC上一点，AM的延长 线交DC的延长线于F，求证：/ AMDHFMC题型的复杂程 从而方便求 现就圆中辅助线的常规/ BA!AC, / CAB玄AHB=90。又ABH玄 CBAABHh与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质， 度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形， 解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法， 作法分类总结如下，供同学们学习时参考一一有时还要连结过弦端点的一、圆中有弦，常作弦心距 （或者作垂直于弦的半径或直径， 半径）例1.如图，以R
10、t ABC的直角顶点 A为圆心，直角边 AB为半径的O A分别交BC AC于点 D E,若BD=10cm DC=6cm求O A的半径。 解:过 A作 A血BD于 H,则 BH 2bd 5cm。 CBA ,AB CBBH AB2AB BC BH(BD DC) BH 16 5 80cmAB 804 5cm。P,弦PN与AB相交于点例2.如图，AB是O O的直径，PO丄AB交O O于点PM PN 2PO2。1 证明：过O作OCL NP于点C,贝y PC PN。2/ OC丄 NP, POL AB, a/ POMM PCO=90。又OPMN CPQ 二PO pm1 OPM CPQ a, a PO2 PM
11、 PC PM (_PN),即PC PO2M求证:2PM PN 2PO。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间 的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径， OHL AC于H, BH与OC交于E,若BH=12,求BE的长。解：连结BG1/ AB 为直径，a AC 丄 BC 又 T OHL AC, AO=BOa O彩1 BC,/ OHE/ CBE / HOE/ BCE OHEo CBEHEBEOHBC2BE 2BH
12、 2 12 8。33例4.如图,AB是半圆的直径，C为圆上的一点，CD丄AB于D,求证:证明：连结AC、BC。/ AB 为直径，a / ACB=90 , a/ 1+/ 2=90 。又t CDL AB, /ADC玄 CDB=90 , / 1 + / 3=90,a/ 3=/ 2, BCBA CADAD CD，即 CD2 AD BD。 CD BD评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN为O O的直径，AP是O
13、O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上， 若PA=PM求/ A的度数。-解：连结OP,设/ A的度数为X。乙彳茗耳二t PA=PMIa/ M=/ A,同理可得/ OPM/M / POAM OPM/M=2 M H m/ M=2Z A=2x。又t AP 切O O 于点 P,a APL OP a/ A+/ POA=90，即 x+2x=90 ，解之得 x=30,a/ A=30o例6.如图,AB为O O的直径,C为O O上的一点,AD和过C点的切线垂直/ 仁 / 2o证明：连结OCt DC切O O 于点 C,a OCL DG 又 t ADL DC a OC/ AD, a / 1 = / 3。tOA=O
14、CA / 2=/ 3,a/ 1=/ 2o评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形 （若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图，点A B、C在O O上（AC不过0点），若/ ACB=60 ,AB=6,求O O半径的长。解：作直径AD,连结BDb是直径，ABD=90 , ADAB 6sinD sin 60D=Z ACB=60。又 T AD14 3 , r AD 2 3。2例8.如图，在锐角厶ABC中,右 BC=a CA=b,a bsinA si nB si nC证明：作直径CD2R。连结BDsin A/ CD为直径，/CBD=90, sinD BCDCsin Da2Ra 2R si nA，同理可得而2RAB=co贏 2R，a2RasinAcsi nCbsin B评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30 、45 、60 、90 2R。等特殊角或/ACB与/ D都是Ab所对的圆周角，/某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，O O和O Q外切于点 A, BC是O O和O
