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1、第3讲基本不等式学生用书P115） a | b1. 基本不等式 abw厂（1）基本不等式成立的条件：a0, b0.等号成立的条件：当且仅当时取等号.2. 算术平均数与几何平均数a l b设a0, b0,则a, b的算术平均数为 厂，几何平均数为.ab，基本不等式可叙述为： 两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数3. 利用基本不等式求最值问题已知x0, y0，则如果积xy是定值p,那么当且仅当 xy时，x+ y有最小值是2】.（简记：积定和 最小）如果和x+ y是定值p,那么当且仅当x= y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）1. 辨明两个易误点(1) 使用基本不等式求最值，“一正，二定
2、，三相等”三个条件缺一不可；(2) 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.2. 活用几个重要的不等式b aa2 + b22ab(a, b R)；2(a, b 同号且都不为 0);a ba+ b 2_a + b a2+ b2ab2 ab, 所以abw乎,故选B.12教材习题改编 函数f(x) = x+ -的值域为()XA 2, 2B. 2 ,+ )C. ( s, 2U 2 ,+s )D. RC 解析当 x0 时，x + - 2 x = 2.x y x 当 x0.x+2% / ( x)= 2.X( x)1所以x+丄W 2.x1所以f(x) = x+丄的值域为(一s, 2 U 2 ,
3、+s).故选C.x3.教材习题改编用长为a(a0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为A.C.22 a_842 a16D 解析设折成的矩形的两边分别为x, y(x0 , y0).则 x + y= |.因为 x+ y 2 xy,1a2所以 xyw *x+ y)2=-,a2即s矩形w 16.当且仅当x= y= 时，(S矩形)max= |6.故选D.44. 若x1，贝U x+的最小值为x 144解析x+= x 1 + 1 4+ 1 = 5.x 1x1当且仅当x 1 =4x 1即x = 3时等号成立.答案55. 若实数x, y满足xy= 1，则x2+ 2y2的最小值为 1解析因为xy= 1,所以y
4、= x所以 x2 + 2y2= x2 + 貞2, x2 - x|= 2 2即x2 + 2的最小值为2 ,2.答案2 .2(高频考利用基本不等式求最值点 ) 学生用书 P115利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3) 求参数的值或范围 典例引领 （1）（2017安徽合肥二模）若a, b都是正数，则1 + b 1 +譽 的最小值为（）a bA. 7B.8C. 9D.10(2017安徽安庆二模）已知a0 , b0,a+ b =A. 4B.2 2C. 8D.16【解析】（
5、1）因为a, b都是正数，所以b1 + a1+b，则a+訥最小值为（）1+4a = 5+a+半 5+誉=9,当且仅当b= 2a0时取等号.故选C.1 2，得 ab=1,则 1+-1 2当且仅当p1 1 a+ b由 a0, b0, a + b= ；+ =盂 即a= 2, b = J2时等号成立.故选B.【答案】(1)C(2)B题点通关角度一知和求积的最值1 21 若实数a,A.2C. 2 2b满足-+ = ab,贝V ab的最小值为（）a bB.D.a b12C 解析由；+ b = .ab知 a0, b0,所以.ab =即 ab2 2,2b，1a1 + 2= -b，当且仅当即 a = 4 2,
6、b = 24 2时取“= 所以ab的最小值为2 . 2.角度二知积求和的最值2.已知函数y= ax+ 3-2(a0,1)的图象恒过定点 A，若点A在直线-+ y=- 1上,m n且m, n0,贝U 3m + n的最小值为 .解析易知函数y= ax+ 3-2(a0, a1)恒过定点(-3, 1), 所以 A( 3, 1).又因为点A在直线+ y=- 1上，m n31所以3 +丄=1.m n所以 3m + n= (3m + n)+ * = 10 + 罟+ 晋10+ 2 ：宇 3= 16,当且仅当m = n时，等号成立，所以3m + n的最小值为16.答案16角度三求参数的值或范围3已知不等式(x+
7、 y) X+ a 9对任意的正实数x, y恒成立，则正实数 a的最小值为1 ay axl l 解析(x+ y)殳+ y = 1 + a +1 + a + 2 a= ( a + 1)2(x, y, a0),当且仅当y= ,ax时取等号，1 a所以(x + y) + y的最小值为(.a +1)2,于是(,a + 1)29恒成立.所以a4.答案4利用基本不等式解决实际问题学生用书P116典例引领小王大学毕业后，决定利用所学专业 进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足 8万件时，W(x) = fx2 + x(万元
8、).在年产量不小于8万件时，W(x) = 6x+ 100 38(万元)每件产品售价为 5元通过市场分析，x小王生产的商品能当年全部售完.写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入 固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】（1）因为每件商品售价为 5元，则x万件商品销售收入为 5x万元，依题意得，当0x8时，L(x) = 5x 3x2 + x 一 3 = 一 x2 + 4x 一 3;100100L(x) = 5x一 6x +- 38 一 3= 35一 x +xx+ 4x 3, 0x8,所以L(
9、x) =当0x8.x丄12时，L(x)=尹6)2+ 9.此时，当x= 6时，L(x)取得最大值 L(6) = 9万元，100 100w 35 2 x- = 35 20= 15, x- x当 x 8 时，L(x) = 35 x+此时，当且仅当x=弓0即x = 10时，L（x）取得最大值 因为9 10 260,化简得 8x2 30x+ 13 0解得-0, y0，且一 +X+ y的最小值是.3(2)函数y= 1 2x -(x0, y0,1 2所以 x+ y= (x+ y) 一 + -x y=3 + y+号3 + 2 2(当且仅当y= ,2x时取等号),(2x)= 1 + 2!6,x所以当 x= ,
10、2+ 1, y = 2+ 2时，(x+ y)min = 3+ 2233当且仅当x=因为 x 1 + 等号，故y的最小值为1 + 2 6.【答案】(1)3 + 2 2(2)1 + 2 6(1)利用基本不等式求最值,一定要注3意应用条件，如本例(2)易忽视条件x 2,6.x(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.当 3 v x v 12时，函数y =(x 3)( 12-x)的最大值为解析y=(x 3)( 12 x)xx2 + 15x 36x36=x+ 15x36 + 15= 3.当且仅当36即 x = 6 时，ymax = 3.答案3学生用书P269（独立成册）1. （2017海口调研）已知a, b （0,+s ），且a+ b = 1,贝U ab的最大值为（）1c. 2B 解析因为 a, b(0, +s),所以 1 = a+ b 2-jab,所以abw 1,14221 当且仅当a = b=空时等号成立.12 .已知 f(x)= x+-一 2(x0)，贝V f(x)有(xA .最大值为0B .最小值为0C.最大值为
