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1、专题1二次函数题型一二次函数的图象和性质例 1对于抛物线yx22x3，有下列四个结论：它的对称轴为x1；它的顶点坐标为(1，4)；它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；当x0时，y随x的增大而减小其中正确的个数为(C)A1 B2 C3 D4【解析】 对称轴为x1，正确；yx22x3(x1)24，它的顶点坐标为(1，4)，正确；yx22x3，当x0时，y3，当y0时，x22x30，x11，x23，yx22x3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)，正确；a10，当x1时，y随x的增大而减小，错误故正确的选项有三个【点悟】二次函数
2、的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析变式跟进1小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当x1时，y随x的增大而增大；(2)函数图象经过点(2，4)则符合条件的二次函数表达式可以是(D)Ay(x1)25 By2(x1)214Cy(x1)25 Dy(x2)2202求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标(1)y4x224x35；(2)y3x26x2；(3)yx2x3；(4)y2x212x18.解：(1)y4x224x35，对称轴是直线x3，顶点坐标是(3，1)，解方程4x224x350，得x1，x2，故它与x轴交点坐标是，；(2)y3x26x2，对称轴是直
3、线x1，顶点坐标是(1，5)，解方程3x26x20，得x11，x21，故它与x轴的交点坐标是，；(3)yx2x3，对称轴是直线x，顶点坐标是，解方程x2x30，无解，故它与x轴没有交点；(4)y2x212x18，对称轴是直线x3，顶点坐标是(3，0)，当y0时，2x212x180，x1x23，它与x轴的交点坐标是(3，0)题型二二次函数的平移例 2将抛物线y2x21向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为(C)Ay2(x1)2 By2(x1)22Cy2(x1)22 Dy2(x1)21【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确
4、定抛物线的平移规律变式跟进3将抛物线y2x24x5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是(C)Ay2(x1)27 By2(x1)26Cy2(x3)26 Dy2(x1)26题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 32016宁夏若二次函数yx22xm的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_m1_【解析】 二次函数yx22xm的图象与x轴有两个交点，0，44m0，m1.【点悟】抛物线yax2bxc(a0)与x轴的交点的横坐标x1，x2，就是方程ax2bxc0(a0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断b24ac与0的大小即可变式跟进4已知二次函数yx22xm
5、(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x22xm0的两个实数根是(D)Ax11，x22 Bx11，x23Cx11，x22 Dx11，x23【解析】 二次函数yx22xm(m为常数)的对称轴是x1，(1，0)关于x1的对称点是(3，0)则一元二次方程x22xm0的两个实数根是x11，x23.52017高邮二模如图1，二次函数y1ax2bxc与一次函数y2kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0y1y2的x的取值范围是_4x3_ 图1 第5题答图【解析】 如答图所示，点A的横坐标为4，点A和点B关于抛
6、物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，抛物线的对称轴为x，二次函数y1ax2bxc与一次函数y2kx的图象交于点A和原点O，C点坐标为(3，0)，则满足0y1y2的x的取值范围是4x3.题型四二次函数的图象与系数之间的关系例 4如图2，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，2)和(0，1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x1.下列结论：abc0；4a2bc0；4acb28a；a；bc.其中含所有正确结论的选项是(D)图2A BC D【解析】 函数开口方向向上，a0，对称轴在原点右侧，ab异号，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c0，abc0，故正确
7、；图象与x轴交于点A(1，0)，对称轴为直线x1，图象与x轴的另一个交点为(3，0)，当x2时，y0，4a2bc0，故错误；图象与x轴交于点A(1，0)，当x1时，y(1)2ab(1)c0，abc0，即abc，cba，对称轴为直线x1，1，即b2a，cba(2a)a3a，4acb24a(3a)(2a)216a20.8a0，4acb28a，故正确；图象与y轴的交点B在(0，2)和(0，1)之间，2c1，23a1，a，故正确；a0，bc0，即bc，故正确【点悟】二次函数yax2bxc(a0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定
8、开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)变式跟进62016孝感如图3是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间则下列结论：abc0；3ab0；b24a(cn)；一元二次方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是(C)图3A1 B2 C3 D4【解析】 抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛
9、物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在点(2，0)和(1，0)之间当x1时，y0，即abc0，正确；抛物线的对称轴为直线x1，即b2a，3ab3a2aa，错误；抛物线的顶点坐标为(1，n)，n，b24ac4an4a(cn)，正确；抛物线与直线yn有一个公共点，抛物线与直线yn1有2个公共点，一元二次方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根，正确题型五 二次函数的实际应用例 52016潍坊旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过1
10、00元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入租车收入管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0x100，由50x1 1000，解得x22，x是5的倍数，每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y元，当0x100时，y150x1 100，y1随x的增大而增大，当x100时，y1的最大值为501001 1003 900.当x100时，y2x1 100x270x1 100
11、(x175)25 025.当x175时，y2的最大值是5 025，5 0253 900，当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元【点悟】应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，ya(xh)2k，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值变式跟进72016杭州把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度h(m)适用公式h20t5t2(0t4)(1)当t3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10 m时，求t的值；(3)若存在实数t1，t
12、2(t1t2)，当tt1或t2时，足球距离地面的高度都为m(m)，求m的取值范围解：(1)当t3时，h20t5t215(m)，此时足球离地面的高度为15 m；(2)h10，20t5t210，即t24t20，解得t2或t2，经过2或2 s时，足球距离地面的高度为10 m；(3)m0，由题意得t1和t2是方程20t5t2m的两个不相等的实数根，b24ac20220m0，解得m20，m的取值范围是0m20.题型六 二次函数的综合题例 62017浙江月考如图4，抛物线C1：yx22x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.(1)将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表
13、达式；(2)将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，求抛物线C2的表达式(用k表示)；(3)在(2)条件下，点P在抛物线C2上，满足SPACSABC，且ACP90.当k1时，求k的值 图4 例6答图解：(1)yx22x(x1)2，抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，变换后的抛物线经过原点O，(2，2)和(4，0)三点设变换后抛物线的表达式为yax2bx，将(2，2)和(4，0)代入，得解得变换后抛物线的表达式为yx22x；(2)抛物线C1经过原点O，点A(1，)和点B(2，0)三点，将抛物线C1上的点(x，y)变为(kx，ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作C2，则抛物线C2过原点O，(k，
