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1、高等数学(一) 模拟试卷第一套得分评卷人选择题：1-10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的。x0 x=01. 设函授f ,则x=0处连续，则a等于 （ ）A 0 B . C. 1 D. 22. 设y=sin 2x,则等于（ ）. A. cos 2x B. cos 2x C. 2cos 2x D. 2cos 2x3.过曲线y=xln x上点的切线平行与直线y=2x,则切点的坐标是（ ）A.（1，0） B.（e,0） C.（e,1） D.（e,e）4. 设 f(x)为连续函数，则等于（ ）A. f(t) B. f(t)- f(a)C. f(x) D. f(x)-
2、f(a)5. 若为f(x)的极值点，则（ ）A.必定存在，且=0 B. 必定存在，且不一定等于零 C. 不存在，或=0D. 必定不存在6.等于（ ）A. B. C. D. 7.平面的位置关系为（ ）A.垂直 B.斜交 C.平行 D. 重合8.设z=tan(xy),则等于（ ）A. B. C. D. 9级数 （k为非零正常数）（ ）A.绝对收剑 B. 条件收剑 C. 发散 D. 收剑性与k有关10 微分方程的通解为（ ）A y= B. y= C. y=C D. y=C得分评卷人二、填空题：11-20小题，每小题4分，共40分。11求 .12 .13设y=,则= .14. 设f(x)=则 .15.
3、 .16.设z=，则= .17.设 .18.幂级数 的收敛半径为 .19.微分方程的通解为 .20.曲线的拐点坐标为 .得分评卷人三、解答题：21-28小题，共70分，解答时应写出推理、演算步骤.21.（本题满分8分）计算 .22.(本题满分8分)设 求23（本题满分8分）设，求.24 （本题满分8分）求的通解.25.（本题满分8分）将 展开为x的幂级数26.（本题满分10分）设 ，且存在，求f(x).27.(本题满分10分)求曲线在点（1，2）处的切线方程，并求该曲线与所求切线及x=0所围成的平面图行的面积.28.（本题满分10分）设区域D为 计算参考答案与详解一、选择题：每小题4分，共40
4、分1C【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念.由函数边连续性的定义可知, 若在处连续，则有，由题设 可知应有a=1,故应选C.2.D【解析】本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则.则 可知应选D3.D【解析】本题考查的知识点为导数的几何意义.由导数的几何意义可知，若在点处可导，则曲线在点处必定存在切线，且切线的斜率为由于可知，切线与已知直线平行，直线的斜率，可知切线的斜率从而有可解得从而知故切点的坐标为（e.e）,可知应选D.4.C【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质.这是一个基本性质：若为连续函数，则必定可导，且.本题常见的错误是选D,这是由于考生将积分的性质与牛顿-莱布
5、尼茨公式混在了一起而引起的错误。5.C【解析】本题考查的知识点为函数极值点的性质.若为函数的极值点，则可能出现两种情形：（1）在点处不可导，如在点=0 处不可导，但是点=0为的极值点.(2)在点可导，则由极值的必要条件可知，必定有本题常见的错误是选A，其原因是考生将极值的必要条件：“若在点可导，且为的极值点，则必有认为是极值的充分必要条件.6.D【解析】本题考查的知识点为不定积分基本公式. 由于 可知应选D 7A 【解析】本题考查的知识点为两平面的关系.两平面的关系可由两平面的法向量间的关系确定.若，则两平面必定垂直.若，时，两平面平行.当时，两平面重合.若与即不垂直，也不平行，则两平面斜交.
6、由于可知，因此，应选A.8B【解析】本题考查的知识点为偏异数运算.由于因此可知应选A9A【解析】本题考查的知识点为无穷级数的收剑性.由于是p=2的p级数从而收剑，收剑，可知所给级数绝对收剑.10D【解析】本题考查的知识点为一阶微分方程的求解.可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解.解法一 将方程认作可分离变量方程.分离变量 两端分别积分 或Y=解法二 将方程认作一阶段性微分方程.由通解公式可得解法三 认作二阶段常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为 特征根为 ,方程通解为二、填空题：每空4分，共40分.110【解析
7、】本题考查的知识点为无穷小的性质.对于，其期限过程为，可知所给极限不能利用重要极限公式这是考生经常犯错误的题目.当时，不存在极限，由于当时，为无穷小，且为有界变量，由于“有界变量与无穷小之积仍为无穷小”，12 2【解析】本题考查的知识点为极限的运算由于分子的极限分母的极限，因此所给极限不能利用极限的商的运算法则来求解，.或利用洛必达法则可得13 【解析】本题考查的知识点为函数商的求异运算考生只需熟记导数运算的法则可知 本题中有些考生还不会运用求异法则，误以为 因此出现 的错误.这是由于考生没掌握基本知识才出现的错误.142【解析】本题考查的知识点为二阶导数的运算.15 【解析】本题考查的知识点
8、为定积分的换算法.由于被积函数分母为二次函数，分子为一次函数，本例有多种解法. 解法一 利用凑微分，注意到，可得解法二 令则当x=1时，t=2;当x=2时，t=5.有的考生填为这个错误的原因是引人变量则dt=2xdx,得到这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化.162x+3y【解析】本题考查的知识点为偏导数的运算.由于可得17 【解析】 本题考查的知识点为不定积分的换元法.由于令则 180【解析】本题考查的知识点为幂级数的收剑半径.所给幂级数为不缺项情形因此收剑半径为0.19 【解析】本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程. 分离变量 两端分别积分 20（0，0）【解析】本题考查
9、的知识点为求曲线的拐点.依求曲线拐点的一般步骤，只需（1）先求出（2）令=0得出.（3）判定在点两侧的符号是否异号，若在的两侧异号，则点为曲线的拐点.令=0，得到x=0.当x=0时，y=0. 当时，0；当时，因此点（0，0）为曲线的拐点.本题出现较多的错误为：填x=0.这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚。拐点的定义是：连续曲线上的凸与凹的分界点称为之曲线的拐点.其一般形式为（，这是应该引起注意的，也就是当判定在的两侧异号之后，再出，则拐点为（注意极值点与拐点的不同之处！三、解答题：共70分21解：【解析】本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算.注意通常引入变换本例求可以令则 也可以不写出新变元，利用凑微分法计算：本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数C.22解： .【解析】本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导. 只需依公式，先分别求出，即可.23.解： 24.解 ： 特征方程为 特征根为 方程的通解为25解： 即 26. 解：设则 两端当时取极限 可解得 因此27解：因此曲线在点（1，2）处的切线方程为 ， 曲线切线与x=0所围成的平面图形如图3-1所示。其面积 11yx 图3-1 28解：利用极坐标，区域D可以表示为 x 连续但导数不存在可除D
