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1、【专题二】 数列与不等式【考情分析】1 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点2 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想【知识交汇】1等差数列与等比数列的综合等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综
2、合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高例1设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B C D答案：A解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和例2等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列若=1，则=（ ）（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差数列，即，因此选C点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力2函数与不等式综合不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求
3、目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：理解题意，设变量设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内，求出函数的最值；正确写出答案x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 例设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A B C D 4答案：A解析：不等式表示的
4、平面区域如图所示阴影部分,当直 线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故选A点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答例4本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台
5、为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为03万元和02万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元答案：700100200300100200300400500yxlM解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为 元，由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取 得最大值联立解得点的坐标为（元）点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过
6、数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一例5设为实数，函数 (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集解析：（1）若，则；（2）当时，当时，综上；（3）时，得，当时，；当时，0，得：；讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力3函数与数列的综合高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答
7、题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力例6知函数（）设是正数组成的数列，前n项和为，其中若点(nN*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；（）求函数在区间内的极值解析：()证明： 因为所以，由点在函数的图象上,， 又， 所以，是的等差数列， 所以,又因为,所以, 故点也在函数的图象上()解:,令得当x变化时,的变化情况如下表: x(-,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)极大值 注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学
8、思想方法，考查分析问题和解决问题的能力4数列与不等式、简易逻辑等的综合数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高例7设若是与的等比中项，则的最小值为（ ） A8 B4 C1 D答案：B解析：因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择B点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力例8设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：；（）设，证明：解析： (1) 必要性： ，又 ，即充分性
9、：设，对用数学归纳法证明， 当时，假设， 则，且，由数学归纳法知对所有成立(2) 设 ，当时，结论成立当 时， ,由（1）知，所以 且 ， ， ，(3) 设 ，当时，结论成立， 当时，由（2）知， 点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高数列与概率的综合数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想例9将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（） 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差
10、为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复【思想方法】【例1】已知等比数列的首项为，公比满足又已知，成等差数列 （1）求数列的通项（2）令，求证：对于任意，都有解析：（1） （2）证明： ， 【分析】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想本题中的第（）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式【例2】在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证
11、明存在，使得对任意均成立解析：（） ，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式 对任何都成立（）解：设，当时，式减去式，得， 这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立【分析】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查DFByxAOE【例3】设椭
12、圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点()若 ,求k的值；()求四边形AEBF面积的最大值 解析：（）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为， 如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或 （）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为， 又，所以四边形的面积为 ，当，即当时，上式取等号所以的最大值为 解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为 ，当时，上式取等号所以的最大值为 【分析】方程与函数思想是数学中的重要思想，该题对于k的求解就是通过建立k的方程，然后解出的；而对于四边形的面积的求解，是通过构造面积关于k的函数关系，然后根据均值不等式来解决其最值问题【专题演练】1公差不为零的等差数列的前项和为若是的等比中项, ,则等于 ( ) A 18 B 24 C 60 D 902 等差数列an和bn的前n项和分别用Sn和Tn表示，若，则的值为( )A B C D 3已知函数，则不等式的解集是（ ）A B C D4 已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_5设数列的前项和为，点均在函数的图象上则数列的通项公式为 6命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围7
