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1、特殊的平行四边形 24特殊的平行四边形限时:30分钟夯实基础1.2018台州 下列命题正确的是()A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.2018上海 已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是()A.A=BB.A=CC.AC=BDD.ABBC3.如图K24-1,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长,交FG于点P,则DP等于()图K24-1A.22B.42C.2D.14.2018淮安 如图K24-2,菱形ABCD的对角线AC,BD
2、的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()图K24-2A.20B.24C.40D.485.2018聊城 如图K24-3,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为()图K24-3A.-95,125B.-125,95C.-165,125D.-125,1656.如图K24-4,在ABCD中,AB=5,BC=7,E,F分别为边BC,AD上的点.若四边形AECF为正方形,则AE的长为()图K24-4A.5B.4或5C.3或4D.5或77.如图K24-5,在正方形
3、ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若CBF=20,则AED=度.图K24-58.如图K24-6,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=.图K24-69.2018连云港 如图K24-7,E,F,G,H分别为矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,HE,EC,GA,GF.已知AGGF,AC=6,则AB的长为.图K24-710.如图K24-8,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为.图K24-811.如图K24-9,点E是正方形A
4、BCD外一点,点F是线段AE上一点,EBF是等腰直角三角形,其中EBF=90,连接CE,CF.(1)求证:ABFCBE;(2)判断CEF的形状,并说明理由.图K24-9能力提升12.2018杭州 如图K24-10,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设PAD=1,PBA=2,PCB=3,PDC=4.若APB=80,CPD=50,则()图K24-10A.(1+4)-(2+3)=30B.(2+4)-(1+3)=40C.(1+2)-(3+4)=70D.(1+2)+(3+4)=18013.2018嘉兴 如图K24-11,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上,DE=1,点F是边AB上
5、一动点,以EF为斜边作RtEFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是.图K24-1114.2017娄底 如图K24-12,在ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.(1)求证:ABGCDE.(2)猜一猜:四边形EFGH是什么特殊四边形?证明你的猜想.(3)若AB=6,BC=4,DAB=60,求四边形EFGH的面积.图K24-12拓展练习15.2018江西 如图K24-13,在菱形ABCD中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图,当点E在菱形ABCD内部或边上时,
6、连接CE,则BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是.(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图,图中的一种情况予以证明或说理).(3)如图,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.图K24-13参考答案1.C2.B3.B4.A5.A解析 如图,过点C1作C1Nx轴于点N,过点A1作A1Mx轴于点M.由题意,得C1NO=A1MO=90,1=2=3.A1OMOC1N.OA=5,OC=3,OA1=5,A1M=3,OM=4.设NO=3x,则NC1=4x,OC1=3,则(3x)2
7、+(4x)2=9.解得x=35(负数舍去),则NO=95,NC1=125.故点C的对应点C1的坐标为-95,125.故选A.6.C7.658.2459.2解析 如图,连接BD.四边形ABCD是矩形,ADC=DCB=90,BD=AC=6.CG=DG,CF=FB,GF=12BD=62,AGFG,AGF=90.DAG+AGD=90,AGD+CGF=90.DAG=CGF.ADGGCF.ADGC=DGCF.设CF=BF=a.CG=DG=b.2ab=ba.b2=2a2.a0,b0,b=2a.在RtGCF中,3a2=64,a=22.AB=2b=22a=2.10.7211.解:(1)证明:四边形ABCD是正方
8、形,AB=CB,ABC=90.EBF是等腰直角三角形,其中EBF=90,BE=BF.ABC-CBF=EBF-CBF,即ABF=CBE.在ABF和CBE中,AB=CB,ABF=CBE,BF=BE,ABFCBE.(2)CEF是直角三角形.理由如下:EBF是等腰直角三角形,BFE=FEB=45.AFB=180-BFE=135.又ABFCBE,CEB=AFB=135.CEF=CEB-FEB=135-45=90.CEF是直角三角形.12.A解析 在矩形ABCD中,PAB+PAD=90,即PAB=90-PAD,APB=80,PAB+PBA=180-80=100.90-PAD+PBA=100,即PBA-PA
9、D=10,同理可得:PDC-PCB=180-50-90=40.由-,得PDC-PCB-(PBA-PAD)=30.(1+4)-(2+3)=30.故选A.13.0或1AF113或4解析 EFP是直角三角形,且点P在矩形ABCD的边上,P是以EF为直径的O与矩形ABCD的交点,(1)当AF=0时,如图,此时点P有两个,一个与D重合,一个交在边AB上.(2)当O与AD相切时,设与AD边的切点为P,如图,此时EFP是直角三角形,点P只有一个;(3)当O与BC相切时,如图,连接OP,此时构成三个直角三角形,则OPBC.设AF=x,则BF=P1C=4-x,EP1=x-1.OPEC,OE=OF,OG=12EP
10、1=x-12.O的半径为OF=OP=x-12+(4-x).在RtOGF中,由勾股定理,得OF2=OG2+GF2,x-12+4-x2=x-122+12.解得x=113,当1AF113时,这样的直角三角形恰好有两个.(4)当AF=4,即F与B重合时,这样的直角三角形恰好有两个,如图.综上所述,AF的值是0或1AF113或4.14.解:(1)证明:AG平分BAD,CE平分BCD,BAG=12BAD,DCE=12DCB.在ABCD中,BAD=DCB,AB=CD,BAG=DCE.同理可得,ABG=CDE.在ABG和CDE中,BAG=DCE,AB=CD,ABG=CDE,ABGCDE(ASA).(2)四边形
11、EFGH是矩形.证明:AG平分BAD,BG平分ABC,GAB=12BAD,GBA=12ABC.在ABCD中,DAB+ABC=180,GAB+GBA=12(DAB+ABC)=90,AGB=90.同理可得,DEC=90,AHD=90=EHG,四边形EFGH是矩形.(3)依题意,得BAG=12BAD=30.AB=6,BG=12AB=3,AG=33=CE.BC=4,BCF=12BCD=30,BF=12BC=2,CF=23.EF=33-23=3,GF=3-2=1.矩形EFGH的面积=EFGF=3.15.解:(1)BP=CE;CEAD.连接AC,交BD于点O,如图.BA=BC,ABC=60,ABC是等边三
12、角形.AC=AB,BAC=60=PAE.BAP=CAE.在BAP和CAE中,AB=AC,BAP=CAE,AP=AE,BAPCAE(SAS).BP=CE.BAPCAE,ACE=ABP=12ABC=30.ACD=60,ECD=30.CE为ACD的角平分线.CA=CD,由三线合一知CEAD.(2)仍然成立,理由如下(选择图):如图,连接AC,交BD于点O,设CE交AD于点H.在菱形ABCD中,ABC=60,BA=BC,ABC为等边三角形.BA=CA.APE为等边三角形,AP=AE,PAE=BAC=60.BAP=CAE.在BAP和CAE中,AB=AC,BAP=CAE,AP=AE,BAPCAE(SAS)
13、.BP=CE,ACE=ABP=30.AC和BD为菱形的对角线,CAD=60.AHC=90,即CEAD.选择图,理由如下:如图,连接AC,交BD于点O,设CE交AD于点H.同理得BAPCAE,BP=CE,ACE=ABP=30.又CAD=60,CEAD.(3)如图,连接AC,交BD于点O,连接CE,交AD于点H.由(2)可知,CEAD,CE=BP,在菱形ABCD中,ADBC,ECBC.BC=AB=23,BE=219,在RtBCE中,CE=(219)2-(23)2=8.BP=CE=8.AC与BD是菱形的对角线,ABD=12ABC=30,ACBD.BD=2BO=2ABcos30=6,AO=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2.OP=OD+DP=5.在RtAOP中,AP=AO2+OP2=27,S四边形ADPE=SADP+SAPE=12DPAO+34AP2=1223+34(27)2=83.1
