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1、正、余弦定理教学设计一、 教学对象授课对象系安徽省亳州市亳州一中南校学生，属中上等学习水平，并具备一定的自学能力和推理能力。二、 教材分析所讲内容为普通高中课程标准实验教科书数学（必修5）（北师大版）第2章的正（余）弦定理，对于这两个定理的推导，书上是用向量法进行证明，并且把正弦定理设在余弦定理之前。教材之所以这样安排主要是基于以下几点考虑：1. 根据初中解直角三角形的经验，学生更容易发现正弦定理，如不用高中知识，学生发现余弦定理则较难。2. 正弦定理与余弦动力都刻画了三角形边角间的度量规律，但正弦定理反映的边与其对角的正弦值成正比的规律，比余弦定理简单，有时可以用角的正弦值替代对边。美学价值
2、更大、更容易激发学生学习解三角形的兴趣。3. 正弦定理与平面几何联系更紧密，讨论正弦定理可以用到较多几何知识，编排在前便于承前启后。4. 用正弦定理证明余弦定理容易，而用余弦定理证明正弦定理则稍难。1关于教材这样的安排自然有一定的道理，但笔者结合自己的教学实际，发现按照教材的思路来授课仍存在一定的困难,尤其是正弦定理的导课环节，总显得不够自然。关于对教学内容的安排笔者的思路如下：1. 教材证明正弦定理是通过建立直角坐标系，并利用向量在坐标轴上的射影推导出正弦定理，而证明余弦定理则直接通过向量平方。这个证明过程看起来很容易理解，但由于学生虽然学习了向量，但对向量的应用仍然显得很吃力。而通过向量引
3、导学生发现正弦定理时实在是有一定困难。给导课带来一定的难度。2. 若用传统的外接圆法或等积法学生明显更容易接受，但这样的话又无法体现新教材把解三角形安排在向量之后的意图。正弦定理的本质是反映三角形边和角的等量关系，而数学中能同时描绘长度和角度的量非向量莫属。所以用向量法证明明显更为自然，这也充分体现了向量的工具性。3. 若用另外一种思路，先用传统方法证明再用向量证明，这样似乎既易于学生理解正弦定理，又能让学生体会到向量的工具性。但这样亦显得画蛇添足，教学过程略显曲折而牵强。4. 通过两堂课的教学经验，我发现在用向量引导学生发现三角形边角关系的过程中学生其实更容易发现余弦定理。为了充分体现新课标
4、以学生为主体的教学思想，我做了大胆的尝试，不妨顺水推舟，先讲余弦定理，再讲正弦定理。三、 教学目标1. 知识与技能掌握正弦定理和余弦定理，并能运用定理解三角形。2. 过程与方法通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正（余）弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律。3. 情感、态度与价值观在利用数量积证明的过程中，体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用，进一步认识和体会数学知识之间的普遍联系与辩证统一（三角函数、向量、三角形）。四、 教学重难点本节的重点：正（余）弦定理的发现、证明及基本应用。本节的难点：正弦定理的发现及证明过程。五、 教学过程1. 提出问题ABCbc师：我们
5、初中学过解直角三角形，你能说出解题的依据吗？生：勾股定理、两锐角互余、正弦、余弦教师板书：（1） 边的关系：；（2） 角的关系：A+B=90a（3） 边与角的关系： , , , .2师：除了直角三角形，我们还学过锐角三角形和钝角三角形，统称为斜三角形，你会解斜三角形吗？生：沉默片刻，有人回答“作高啊！”师：对，把斜三角形转化成直角三角形，这正是我们平时强调的“转化思想”，同学们回答得非常好。生：被老师肯定，感到很喜悦。师：但是，如果不作高，仅仅依赖于三角形的边和角能不能直接解斜三角形呢？生：再次陷入沉默。师：为什么我们没办法解斜三角形？斜三角形的边和角都有什么关系？生：（1）边的关系：两边之和
6、大于第三边，两边之差小于第三边；（2）角的关系：内角和180度；（3）边与角的关系：大边对大角；师：对比直角三角形的边角关系和斜三角形的边角关系，你发现了什么？生：要解斜三角形必须找到边和角的等量关系！2. 探求问题师：非常好，我们今天要探求的正是三角形的边角关系，但是我们必须借助一样工具把边和角联系起来，什么工具能担此重任呢？生：向量！（因为必修四学过向量，并且当时也反复强调了向量的工具性，所以学生在此想到向量并不困难）ABC师：对，我们前面已经认识到向量是既有大小又有方向的量，它是沟通代数和几何的桥梁，今天我们以向量为工具，看一看向量在数学中是如何体现其工具性的。师：观察黑板上的三角形，我
7、们能想到向量的那些知识？生：向量的三角形法则、向量的加法、向量的减法师：好，大家看到三角形联想到向量的三角形法则，ABC不妨用向量的加法来表示。生：师：如何根据向量关系推出三角形的边角关系呢？二者有什么联系？生：三角形的边可以用向量的模表示。师：如何能出现三角形夹角呢？生：只要出现两个向量的点乘！师：对！怎样构造向量的点乘？生：平方，两边同时平方！（之前求向量的模时接触过通过平方出现向量点乘）师：非常好，那么，除了平方还有其他方法可以出现点乘吗？生：那就再乘一个向量。（声音很微弱）师：对，我们还可以在等式两边同时乘以一个向量！接下来，我们分别就两种方案进行探究。方案一：两边同时平方，易得，同理
8、得，方案二：两边同时乘以一个向量师：我们可以在等式两边同时乘以一个向量，但是，乘以哪个向量呢？（这是本节课的难点）生：被难住。师：能不能是任意一个向量呢？（在三角形边上任意画一个向量）生：不行！（意识到构造点乘的目的之一是要出现三角形的夹角）师：那就是要一个特殊的向量，什么样的向量比较特殊？生：零向量，单位向量，平行向量，垂直向量师：好，大家再仔细思考刚才的几个特殊向量，看看用哪个好？零向量很容易排出，大部分同学意识到可以用垂直向量。生：可以用垂直向量。师：那么图中有没有与已知向量垂直的向量呢？ABCD生：没有。师：如何构造一个？生：只需做三角形的高。（因为有了新课引入时通过作高将斜三角形转化
9、为直角三角形的铺垫）师：好，我们来做三角形BC边上的高试试。等式两边同时乘以刚构造出的向量，得，进而得，即，即，同理得，师：虽然我们构造的向量的模长并不知道，但在推导过程中约掉了，看来这个推导的过程与构造向量的长度无关，只要是垂直关系就行了。既然如此，你能否构造一个更特殊的向量？A生：可以取高上的单位向量。BCDM师：非常好，还有其他做法吗？（边说便把学生的想法画在图上）生：可以取其他单位向量，只要保持垂直关系。师：对，我们还可以把这些方向确定的单位向量放在一些特殊位置，比如把起点放在B点等。咱们把这些想法作为课后作业，大家课下完成。3. 解决问题我们刚才得出了如下公式（1）因为在公式中，角以正弦形式出现，称之为正弦定理。我们可以这样描述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（2）因为涉及三边与一角的余弦，称之为余弦定理。我们可以这样描述：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理通过变形，还可以得到如下变形公式：（3） 4. 课堂小结本节课正余弦定理的证明方法其实有很多，这种用向量证明的方法虽不是最简单的，但它的意义在于这是我们第一次用向量为工具解决数学问题。今后的学习中，我们还会使用向量解决其他问题，如在立体几何中，我们会利用向量解决垂直、夹角、距离等问题。
