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1、435全零点格型结构1973年，Gray和Markel提出一种新的系统结构形式，即格型结构( lattice structure )。 这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11示出其中的第m极。与fir滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支
2、路的，的) fg g瓜阿加世)第1级第2皴第级第阳级:厂j Z-1；: z1: z1fg血)0) 爲也)裁1火)如则何图7.10全零点格型结构图7.11全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。图7.10中，以x(n)为输入序列，后接 M个格型级，这样就形成M个滤波器：第 m(m=1,2,.,M )个滤波器有两个输出，即上输出fm(n)和下输出gm(n)。以fm(n)为输出的滤波器称为前向滤波器；以gm(n)为输出的滤波器称为后向滤波器。对于M个前向FIR滤波器，它们的系统函数为：(18)Hm(z) =Am(z),m=1,2,.,M式中，AJz)是多项式
3、:mAm(z) =1 am(k)z=1 Em EM( 19)k =这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标m代表滤波器序号， 也代表滤波器的阶数，例如，给定a(0) =1以及a(1),a(2),a(M )，则第4个滤波器的系统函数为出=1 a4(1)za4(2)z，az； a4(4)z，设第m个滤波器的输入、输出序列分别是x(n)和y(n),则my(n) =x(n) am(k)x(n -k)(21)k4其直接型实现如图12所示。图7.12 FIR滤波器的一种直接实现形式m =1阶滤波器的输出可表示为y(n) =x(n)冃(1)x(n -1)( 22)该输出也可以从图12所示的第一级
4、格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为x(n)。从两个输出端得到的信号分别为f,(n)和g (n):下1( n) =x(n) +kox( n 1)丿(23)g(n) =kx(n) -x(n-1)其次我们考虑二阶 FIR滤波器，它的直接型结构输出为y( n) = x(n) a2(1)x( n-1) a2(2)x( n - 2)= x( n) x(n-1) x(n-2)1 a2(1)a?( 2)T( 24)上式将输出y(n)表示为两个向量的内积，T表示向量转置。相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元(图10前面的两级)来实现。，图中，第一级的输出为f1(n) = x(n) +
5、 k|X(n T)丿(25)41( n) =k1X(n) x (n 1)丫2(n)=人(n) + k2 (n-1) 加 n) *( n) p (n -1)将式(25)中的fMn)代入式(26)中，得=x(n) k1(V k2)x(n 一1) k2x(n 一2)（27）现在令式（24）和式（27）的系数相等，即鬼=k2,a2 (1) - k1(1k2)（28）于是，得二阶格型结构的参数kak弘（29） - a2(2),k1 -1 a2(2)其中，k a2 （2）这个结果是很容易理解的。从图7.12看，如果滤波器阶数m = 2，则时延为2的输入输出传输值为 a2（2），而从图7.10看，从输入到上
6、端输出有三条可能的支路， 而其中时延为2的支路传输值为k1。如果这两个流图等效，则应有k2 =a2（2）。因此可以推论，若有m个格型级，则其最右边的支路km与直接型结构的参数 am（m）相等：km=am（m）（ 30）为了得到其它支路传输值kmd,km,.,k1与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10 所示的M阶格型结构的最右边做起：根据M阶滤波器的直接型参数，依次求M -1，M -2,M -3,.,1阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出m阶滤波器的系数组am（k）,k =1,2,.,m，则格型结构的支路传输km =am（m）。式（29）表明，二阶格型结构的两个参数k1和k2
7、可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个 m阶直接型fir滤波器和一个 m阶或m级格型滤波器之间的等 效性。按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为f(n) ng(n) =x(n)（31）fm(n) =fm4(n) kmgm4(n -1),m = 1,2,.,M-1（32）gm( n)=kmfm4( n) gm4( n-1),m=1,2,.,M-1（33）因此，第M-1级滤波器的输出相当于M-1阶FIR滤波器的输出，即y(n )f4( n)( 34)因为fir滤波器和格型滤波器的输出fm（n）可以表示为mfm(n)二為 am(k)x(n -k)而这个式子是两个序列的卷积和，
8、所以它遵从Fm( Z)= A(Z)X(Z)故X(z)Fo(z)am(0)= 1Z变换关系(35)(36)现在我们来看二级格型滤波器的另一个输出g2(n)。由图 7.10 得g2(n) =k2fi(n) gi(n -1)二 k2x(n) Kx(n -1) Kx(n -1) x(n - 2)二 k2X(n)匕(1 -k2)x(n1) x(n -2)=a2(2)x(n) a2(1)x(n-1) x(n-2)=x( n) x(n-1) x(n-2)他(2)a?。)1T( 37)可见，对于g2(n)为输出的后向滤波器，滤波系数组为a2(2)a2(1)1，而对于以f2(n)为输出的滤波器，滤波系数组按相反
9、次序排列，为1a2(1)a2(2)。根据以上分析。可见m级格型滤波器的输出gm(n)可以用卷积和形式表示为(38)mgm(n)八:m(k)x(n -k)k=0式中，滤波系数-m(k)与产生输出fm(n) = y(n)的另一滤波器有关，只不过操作次序相反。例如，如果m = 6，a6(0) =1月6(1) = 2代(2) = 4旦二 7旦(4) = 5月6(5) = 3,a6(6) = 6，-6(6) =1,飞(5) =2,飞(4) =4,飞(3) =7,飞(2) = 5,飞(1) =6 (0) = 6k = 0,1,.,mPm(k) =am(m-k), f m(m) =1在Z域中，式(38)变为
10、(40)Gm(Z)= Bm(Z)X(Z)Bm(Z)二Gm(Z)(41)这里， Bm(Z) 是下输出端相对于输入端的系统函数;m(42)Bm(Z)八 F(k)Z 上k=0因为 F(k) =am(m -k)，故mmmBm(z)八 am(m-k)Z丄八 am(j)zj二 Z am(j)zjk=0j=0j=0二 ZAn(Z)(43)这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。现在我们回到式(31)( 33)的递推方程组，并把它们变换到Z域，得Fo( z) =Go(z) =X(z)( 44)1Fm(z) -Fmj(z) kmZ Gm4(z),m=1,2,.,M-1(45)Gm(z)二 kmFmO zG
11、m(z),m=1,2,.,M-1(46)各式除以X(Z)并利用前面的关系式，可得1Am二 AZ) IZ Bm4(z),m 1,2，,M-1(47)(48)Bm二 kmAm4(Z)ZBm4(Z),因此，在Z域，一个格型级可用矩阵方程描述为Am(Z)=1kmAmJ(Z)I|_Bm(Z) *|_km 1|_z Bm4(Z)一m=12,M-1( 49)(50)利用式(47) ( 49)可以根据格型滤波器系数，从m =1开始按升阶递推法求出直接型滤波器系数。例给定三级格型滤波器如图13所示。确定与之等效的直接型结构的FIR滤波器系数。z-z-1岛=62，= 1 2 ,图13给定三级格型滤波器解 根据式(
12、48),得A(z) =Ao(z)艰也(z)因此，对应于单级格型的FIR滤波器系数为 印(0)=1。16(1)二匕 ，因Bm(z)是Am(z)的反转多项式，故4Bdz)zd其次，对于m =2得格型滤波器，根据式(48)得4A2(z) = A(Z)KzBi(z)3z-z因此,对应于二级格型的FIR滤波器系数为31a2(0) =1， a2(1),a2(2) 。此外823z z最后，添上第三个格型级，得出多项式A3(Z)二 A2(Z)k3Z2 (z)=1 匹 z，5z z3248因此,与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR滤波器系数为93(0) =1,33(17,33 (2)(3)2481351玄珂玄
13、二玄玄=弄3-假定已知M阶直接型FIR滤波器的系数或者多项式A (z)，我们希望确定相应的格型滤波器的系数组ki，i =1,2,.,M。对于第M个格型级，可直接得出kM二Am(M),所以,只需从M 1开始降阶递推过程。为了得到kM j，只需求出多项式Am i(Z)=1 Am)Z，.州(M -1)ZM就可以得到kM i = Am j(M -1)。根据式(48)和式(49)，可以得到降阶递推关系:Am(Z)二Amd(Z)讣乜亠=Am(Z)心咼-kmAmZ)曰是,(51)片二二州畀-第気，1心设FIR滤波器的系统函数为H(z)讥(z) =113zd z*248确定对应于该FIR滤波器的格型系数。1解
14、首先，直接得出k3二a3(3)，而且3B3E十5宀易宀Z在m = 4的情况下，利用式(51)降阶递推，得A=1討尹1 1 3因此，k2 =a2(2)和 B2(z)z 4 Z。2 2 8最后，在m = 2的情况下，再降阶递推，得A-k2B2(z)A1 二因此,1 ki 二 A(1)4图13示出所得三级格型滤波器。系统的全极点格型结构H(Z)二M( 12)1- akZ上kJ与M阶FIR系统函数相比较，可见这两种系统互为逆系统。我们在第节以研究了 FIR系统的(全零点)格型结构。现在我们要基于式(12)找出IIR系统的全极点格型结构。最简单的途径就是研究逆系统的信号流图，从中找出规律。给定一阶FIR系统函数为Y(z)H (z)c k1zJ( 13)
