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1、精品文档导数与函数的单调性模型总结1、 关系式为“加”型（ 1）若 f ( x)f ( x)0 ，则构造 ex f (x)（ 2）若 xf (x)则构造 xf ( x)exf( )(x)x ff ( x)0 ，xf ( x)f ( x)（ 3）若 xf(x) nf (x) 0 ，则构造 xn f (x)xn f (x)nxn1 f (x)xn 1 xf (x)nf (x)(4) 若 f (x) g( x)f ( x) g (x)0，则构造f ( x )g ( x ) f ( x )g ( x )f ( x ) g ( x )2、关系式为“减”型（ 1）若 f ( x)f ( x)0 ，构造 f
2、 (x)f ( x)exf ( x)exf(x)f ( x)exx2ex(e )（ 2）若 xf (x)f ( x)0 ，构造 f (x) xf (x)f ( x)xx2（ 3）若 xf (x)nf (x)0，则构造 f ( x)xn f(x)nxn 1 f ( x)xf(x) nf (x)xnn)2xn 1( x（备注：本类型仅作了解）(4) 若 fx gxfx g x0，f ( x )f ( x ) g ( x )f ( x ) g ( x )则构造g ( x )2g ( x ).精品文档口诀：1. 加减形式积商定2. 系数不同幂来补3. 符号讨论不能忘教学过程一、真题体验真题体验(201
3、5年全国新课标卷二理科数学第 12题）设函数 f ( x) 是奇函数 f (x)( xR) 的导函数， f ( 1) 0，当 x 0 时， xf( x) f ( x) 0 ，则使得函数 f ( x)0成立的 x 的取值范围是A. (, 1)(0,1)B ( 1,0)(1,)C (,1)(1,0)D (0,1)(1,)真题体验（2017年淮北市第一次模拟理科数学第12 题）已知定义在（ 0，+）的函数f（x），其导函数为f（ x），满足： f（x）0 且总成立，则下列不等式成立的是（）2e+32 3Aef（e） e f（）2e+32 3Cef（） e f（e）2e+32 3Bef（） e f（e
4、）2e+32 3D ef（e） ef（）二、考点分析通过这两题及最近的模拟题我们发现： 解决这类单调性问题需要借助构造新函数，结合函数的导数与函数单调性之间的关系来解决，那么怎样合理的构造新函数就是问题的关键， 今天我们一起系统的通过“两大类型及它们蕴含的八大小类型” 来探讨一下如何构造新函数解决这类问题。三、关系式为“加”型关系式为“加”型：若 f (x) f ( x) 0 ( 0、0，下同 ) ，则构造 ex f ( x)ex f ( x)f ( x)例 1、设 fx 是定义在 R 上的可导函数，且满足fxfx ，对于任意的正数 a ，下面不等式恒成立的是（）.精品文档A. f a ea
5、f 0B.f aea f 0C.f af 0D.f af 0eaea试题分析：构造函数( )xf( )xxf(x)0 ， g( x) 在 Rg xex，则 g(x) e f (x) e内单调递减，所以 g(a)g(0)，即： ea f (a) f (0)， faf0.ea关系式为“加”型：若 xf (x) f ( x) 0 ，则构造 f ( x) xf ( x) 2f ( x)xx例 2、已知函数 y f ( x) 是定义在数集 R 上的奇函数，且当 x(,0) 时，xf ( x)f ( x)成立，若a3 f (3),b (lg 3) f (lg 3), c11) , 则(log 2 4) f
6、 (log 2 4a, b, c 的大小关系是（）A. c a bB.c b aC.a b cD.a c b试题分析：因为x (,0) 时， xf (x)f ( x) ，所以当 x(,0) 时，xf ( x)f ( x)0 ，又因为函数 yf ( x) 是定义在 R 上的奇函数，所以当x(,0)时，xf (x)f ( x)0 ，构造函数 g(x)xf ( x) ，则g ( x)xf( x)f (x)0, x (,0)，所以 g(x) 在 (,0) 上是减函数，又g( x)g(x) ，所以 g (x) 是 R上的偶函数，所以 g(x) 在 (0,) 上是增函数，因23lg 3 0，所以 g(2)
7、g(3)g (lg 3) ，而 g(2)g(2)g(log 2 1 ) ，所以4有 c a b ，选 A.关系式为“加”型：若 f (x)g(x) f(x)g(x) 0，则构造 f ( x)g ( x) f ( x) g ( x)f ( x)g ( x)例 3、设 f ( x)、 g( x) 是 R 上的可导函数， f ( x) g( x)f ( x) g (x)0， g( 3)0 ，求不等式 f ( x) g( x) 0的解集变式 1：设 f ( x)、 g( x) 分别是定义在 R 上的奇函数、偶函数，当x 0 时，f (x)g ( x) f (x) g ( x)0 ， g( 3)0 ，求
8、不等式 f (x)g( x) 0 的解集 .关系式为“加”型：若 f (x)g(x)f (x)g(x) 0，.精品文档nnn 1n 1nf(x)则构造 x f (x)x f (x)nxf (x) x xf(x)例 4、（ 2016 年合肥市第二次模拟理科数学第12 题）定义在 R 上的偶函数 f（x）的导函数为 f （ x），若对任意的实数 x，都有 2f（x）+xf（ x）2恒成立，则使2（ ）（ ）21 成立的实数 x 的取值范围为（）x fxf1xA x| x 1B（ ， 1）（ 1， +）C（ 1， 1）D（ 1，0）（ 0，1）（ ）解：当 x 0 时，由 2f（x）+xf（x） 2
9、 0 可知： 2xf（ x） x2设： g（x）=x22 则 g（x）=2xf（x） x2 fx2x0f（x） x+ f （ x） 2x0，恒成立： g（ x）在（ 0，+）单调递减，（ ）2f（1） 1由 x2 （ ）（ ）x2 1 x2ffxf1xx即 g（x） g（ 1），即 x1；当 x0 时，函数是偶函数，同理得： x 1。综上可知：实数 x 的取值范围为（ ， 1）（ 1， +），故选： B四、关系式为“减”型关系式为“减”型：若 f (x)f (x)0，则构造f ( x)f (x)exf (x)exf (x) f (x) xx2xe(e )e例 5、若定义在 R上的函数 f(x)的导函数为 f (x) ，且满足 f ( x) f ( x) ，则 f (2011)与 f (2009) e2 的大小关系为（）.A、 f (2011) f (2009) e2B、 f (2011) = f (2009) e2C、 f (2011)
