初三升高一数学教材

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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（1） 元素：一般地，我们把研究的对象称为元素（element）。元素通常用小写字母a，b，c表示。（2） 集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。集合通常用大写字母A，B，C表示。课文说“我们一般用花括号表示集合”，也就是赋予了符号“”新的含义：表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。注意：正数表示所有大于0的实数组成的集合。这种表示是正确的。但是所有的正数这种表示方法是错误的。因为“”已经包含“所有的”含义。（3） 元素与集合的关系：元素与

2、集合的关系有“属于”和“不属于”两种。元素a属于集合A，记作aA；元素a不属于集合A，记作aA。 符号和是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。 aA与aA取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立。（4） 集合中元素的特征：确定性；互异性；无序性。（5） 集合的分类：有限集；无限集。（6） 集合的表示方法： 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。如：大于1且小于10的偶数构成的集合注意：用自然语言描述集合不要出现花括号。 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”

3、。如：所有正奇数的集合为1，3，5，7，9， 描述法：把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是xI|P(x)，其中“x”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；“P(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略。如不等式2x-51的解集可表示为x|x 3或xR|2 x -51或x|2 x -51 韦恩（Venn）图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。 区间法：（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。）（7） 特殊集合的表示：对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合：非负整数集（或自然数集

4、）记作N；正整数集记作N+或者N*；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R。例1考查下列每组对象能否构成一个集合：（1）著名数学家；（2）月成辅导学校所有高个子同学；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）的近似值的全体；（5）不超过10的非负数。例2用符号或填空：（1）； （2）；（3）。例3按要求分别表示下面的集合：（1）用自然语言描述集合0，2，4，6，8，；（2）用列举法表示集合30的正约数；（3）用描述法表示集合“正偶数集”；（4）用描述法表示集合2，-4，6，-8，98，-100；（5）用列举法表示集合(x，y)|x+y=3，xN，yN。例4下面三个集合：；。（1）它们是不

5、是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？例5由实数所组成的集合，最多含有元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5例6已知集合M=-2，若2M，求x。例7若，求实数的值。例8设集合A=1，B=，且A=B，求实数。例9已知集合S=a，b，c中三个元素分别是ABC的三边长，则ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例10已知集合,其中为常数且R。（1） 若集合A是空集，求的范围；（2） 若集合A只有一个元素，求的值；（3） 若集合A中至多有一个元素，求的范围。1.1.2 集合间的基本关系（1） 子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我

6、们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：AB（或BA）。这时我们也说集合A是集合B的子集。注意：当A不是B的子集是记作AB（或BA）；任何一个集合是它本身的子集，即AA；空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为；空集是任何集合的子集，即A；子集具有“传递性”，即：如果AB，BC，那么AC。（2） 集合相等：如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。根据集合相等的定义可知：要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。（3） 真子集：如果AB，且AB，就说集合A是集合B的真子集，记作AB注意：

7、空集是任何非空集合的真子集。（4） 有限集合的子集个数问题： 个元素的集合有个子集； 个元素的集合有个真子集； 个元素的集合有个非空真集。例11已知集合A1，3，21， B3，。若，求实数的值。例12已知集合，集合，若QP，求的值。例13已知集合，且，求取值范围。例14下列各组中的两个集合相等的有（）；A. B. C. D. 例15已知集合M满足1，2M1，2，3，4，5，满足条件的集合M有多少个？写出所有的满足条件的集合M。例16设集合M=，集合N=，则M与N的关系是（）A.M=NB.MNC. MND.MN例17已知A=，B=，且AB，求实数k的取值范围。1.1.3 集合的基本运算（1） 并

8、集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。记作AB。读作：A并B。其含义用符号表示为：用Venn图表示并集如下： BAA（2） 交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。记作：AB。读作：A交B。其含义用符号表示为：。用Venn图表示交集如下： A B（3） 交集与并集的运算性质：；。（4） 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。（5） 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。其含义用符号表示为：用Venn图表

9、示交集如下：（6） 补集与交集、并集的性质反演律：；。例18 设U=三角形，M=直角三角形，N=等腰三角形，则MN= MN= CUM= CUN= CU（MN）= 例19 设集合例20 设集合A=x,集合B=x,若已知AB=2,3,5,则集合A、B分别为（ ）A3，5、2，3 B2，3、3，5 C2，5、3，5 D3，5、2，5例21已知全集，求。例22已知集合，若已知，求实数m的取值范围。例23 设A=x,其中xR,如果AB=B，求实数的取值范围。例24已知。例25已知集合例26设全集。已知，求集合A和集合B。例27 若M=，N=Z，则MN等于（ ）A B C0 DZ例28已知集合 的值或取值

10、范围。例29定义AB=x|xA，且xB，若M=1,2,3,4,5,N=2,4,8，则NM= 。例30某班50个学生中，参加数学竞赛的25个，参加化学竞赛的32人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数最多是几人？最少又是几人？1.2 函数的概念及其表示法（1） 函数的定义：传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，

11、记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域。（2） 映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。如果集合A中的元素a对应到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a对应的“象”；b是a的“原象”。由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。对应有以下几种形式：

12、9413-32-21-1304560901-12-23-3149123123456开平方求正弦求平方乘以2 （1） （2） （3） （4）其中：一对多（如）、多对一（如）、一对一（如、）总结：根据映射的定义知“一对多”（如）不是映射；A中每一个元素都有象；B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；A中每一个元素的象唯一。（3） 函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。如：的定义域是非负实数；圆半径R与面积S的函数关系

13、的定义域为正数；的定义域是非零实数注：求函数的定义域的常见类型 当f(x)为整式时，定义域为； 当f(x)为分式时，定义域为使分母不为的x的集合； 当f(x)为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合； 当f(x)是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。（4） 函数的对应法则：对应关系f是函数关系的本质特征，y=f（x）的意义是：y就是x在关系到f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如：f(x)=3x+5，f表示自变量的3倍加上5。（5） 函数的值域：函数的值域：自变量在定义于内取值时相应的函数值的集合。（6） 求函数的值域的常用方法：1观察法求函数值域例31求下列函数值域：（1） （2） （3）