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1、.例1 2015年XX市中考第28题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yax22ax3aa0与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧,经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD4AC1直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式其中k、b用含a的式子表示；2点E是直线l上方的抛物线上的动点,若ACE的面积的最大值为,求a的值；3设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能,求出点P的坐标；若不能,请说明理由图1 备用图思路点拨1过点E作x轴的垂线交AD于F,那么AEF与CEF是共底的两个三角形2以AD为分类标准
2、讨论矩形,当AD为边时,AD与QP平行且相等,对角线APQD；当AD为对角线时,AD与PQ互相平分且相等满分解答1由yax22ax3aa,得A由CD4AC,得xD4所以D由A、D,得直线l的函数表达式为yaxa2如图1,过点E作x轴的垂线交AD于F设E,F,那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF,得ACE的面积的最大值为解方程,得3已知A、D,xP1,以AD为分类标准,分两种情况讨论：如图2,如果AD为矩形的边,那么AD/QP,ADQP,对角线APQD由xDxAxPxQ,得xQ4当x4时,ya21a所以Q由yDyAyPyQ,得yP26a所以P由AP2QD2,得222822整
3、理,得7a21所以此时P如图3,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等由xDxAxPxQ,得xQ2所以Q由yDyAyPyQ,得yP8a所以P由AD2PQ2,得522122整理,得4a21所以此时P图1 图2 图3考点伸展第3题也可以这样解设P如图2,当AD时矩形的边时,QPD90,所以,即解得所以P所以Q将Q代入ya,得所以如图3,当AD为矩形的对角线时,先求得Q由AQD90,得,即解得例2 20XXXX省中考第24题如图1,已知抛物线C：yx2bxc经过A和B两点将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N1求抛物线C的表达式；2求点M的坐标；3将抛物线C平移到抛物线
4、C,抛物线C的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1思路点拨1抛物线在平移的过程中,MN与MN保持平行,当MNMN4时,以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16,底边MN4,那么高NN43MN4分两种情况：点M在点N的上方和下方 4NN4分两种情况：点N在点N的右侧和左侧满分解答1将A、B分别代入yx2bxc,得 解得b2,c3所以抛物线C的表达式为yx22x32由yx22x324,得顶点M的坐标为3抛物线在平移过程中,MN与MN保持平行,当MNMN4时,以点M、
5、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为16,所以MN边对应的高NN4那么以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNNM如图2；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNNM如图2；抛物线C先向右平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN如图3；抛物线C先向左平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN如图3图2 图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位,两条抛物线的交点为D,那么MMD的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4,MMD是等腰三角形,由M、M,可得点D的横坐标为将代入y24,得所以D
6、H所以S图4例3 20XX上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线yx2bxc经过A、B两点 1求抛物线的解析式；2求tanABO的值；3过点B作BCx轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标图1 思路点拨1第2题求ABO的正切值,要构造包含锐角ABO的角直角三角形2第3题解方程MNyMyNBC,并且检验x的值是否在对称轴左侧满分解答1将A、B分别代入yx2bxc,得解得,c1所以抛物线的解析式是2在RtBOC中,OC4,BC3,所以OB5如图2,过点A作AHOB,垂足为H在RtAOH中,OA1,所以 图2
7、所以, 在RtABH中,3直线AB的解析式为设点M的坐标为,点N的坐标为,那么当四边形MNCB是平行四边形时,MNBC3解方程x24x3,得x1或x3因为x3在对称轴的右侧如图4,所以符合题意的点M的坐标为如图3图3 图4考点伸展第3题如果改为：点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2,解方程x24x3,得如图5所以符合题意的点M有4个：,图5例4 20XXXX市中考第21题如图1,在RtABC中,C90,AC6,BC8,动点P从点A开始沿边A
8、C向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD/BC,交AB于点D,联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒t01直接用含t的代数式分别表示：QB_,PD_；2是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度匀速运动,使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度；3如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长图1 图2思路点拨1菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在ABC的平分线上,PQ/AB先求出
9、点P运动的时间t,再根据PQ/AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度2探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径满分解答1QB82t,PD2如图3,作ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ/AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB,垂足为E,那么BEBC8在RtABC中,AC6,BC8,所以AB10 在RtAPE中,所以当PQ/AB时,即解得图3所以点Q的运动速度为3以C为原点建立直角坐标系如图4,当t0时,PQ的中点就是AC的中点E如图5,当t4时,PQ的中点就是PB的中点F直线EF的解析式是y2x6如图6,PQ的中点M的坐标可以表示
10、为,t经验证,点M,t在直线EF上所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF图4 图5 图6考点伸展第3题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时,PQ的中点为设点M的运动路径的解析式为yax2bxc,代入E、F和,得 解得a0,b2,c6所以点M的运动路径的解析式为y2x6例5 20XXXX市中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B、C、D以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E1直接
11、写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；2过点E作EFAD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,ACG的面积最大？最大值为多少？3在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内包括边界存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答1A因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为ya24,代入点C,可得a1所以抛物线的解析式为y24x22x32因为PE/BC,所以因此所以点E的横坐标为将代入抛物线的解析式,y24所以点G的纵坐标为于是得到因此所以当t1时,ACG面积的最大值为13或考点伸展第3题的解题思路是这样的：因为FE/QC,FEQC,所以四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H,那么四边形EHCQ也是平行四边形再根据FQCQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQCQ列关于t的方程,检验四边形EHCQ是否为菱形,如图2,当FQCQ时,FQ2CQ2,因此整理,得解得,舍去如图3,当EQCQ时,EQ2CQ2,因此整理,得所以,舍去图2
