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1、28.1.1 正弦和余弦（第1课时） 一、内容和内容解析1内容（1）、当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也都固定。（2）、正弦概念。2内容解析正弦的概念是全章知识的基础，是本章的入门课，是高中和大学所学三角函数知识的基础和铺垫，特别是它所渗透的边的比和角之间的关系，对学生今后的学习影响深远。基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：正弦的概念；同时正弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，通过学习能感受其中的数形结合思想。二、教材解析本节课在三角形相似和勾股定理的基础上，进一步研究边的比与角的关系，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对
2、边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 对边的比与角的关系的研究，从30、45、60到任意角，最后得出正弦的概念。整个探究过程经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程符合学生的认知特点，体会建立正弦函数概念的必要性。三、目标和目标解析1目标（1）使学生初步了解正弦的概念；能够较正确地用sinA表示直角三角形中两边的比。（2）通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实。（3）能根据正弦概念正确进行计算。2目标解析（1）通过学生自己的探索活动，对正弦的概念的研究，达到对正弦的概念特点的认识和对正弦的性质的理解。（2）经历探索直角三角形的锐角固定时，它的
3、对边与斜边的比值的过程，培养学生的探索能力。（3）经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。（4）让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。四、教学问题诊断分析学生通过这节课将会经历探索正弦的概念的过程。困难在于能够理解正弦这个概念，并能理解它与直角三角形的边和角的关系，理解设立这个概念的必要性特别是在能够正确说出边的比值为定值等问题上都需要教师引导。本课的教学难点是：学生很难想到对任意锐角，它的对边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。五、教学过程设计1复习旧知、导入正弦概念（一）创设
4、情境，导入新知问题1：1、如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？2、长5米的梯子以倾斜角CAB为30靠在墙上，则A、B间的距离为多少？3、若长5米的梯子以倾斜角40架在墙上，则A、B间距离为多少？4、若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角CAB为多少度？师生活动：先由学生独立计算，然后小组内互相交流展示。设计意图：前两个问题学生很容易回答。这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识。但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对九年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用。同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初
5、步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。（二） 细心观察，归纳要点问题2: 当锐角为特殊角值时，其对边与斜边的比值也是固定的吗？师生活动：请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30、45、60角的对边与斜边的比值。设计意图：学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，特殊角的对边与斜边的比值是一个固定的值。程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。这样做，
6、在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。教师追问：当锐角取其他固定值时，其对边与斜边的比值也是固定的吗？师生活动：让同学画一个含40角的直角三角形，并测量、计算40角的对边与斜边的比值。设计意图：学生容易发现，不论角度大小是否特殊，只要角度固定，所求的比值就是固定的。大部分学生可能会想到。让学生认识到从特殊到一般，是我们常用的归纳探索的方法。（三）动手操作，推出性质问题3:请运用已有知识证明：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边与斜边的比值总是固定不变的师生活动：学生经过研究，也许能解决这个问题若不能解决，教师可适当引导：若一组直角
7、三角形有一个锐角相等，可以把其顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3落在另一条直线上这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1B2C2B3C3，AB1C1AB2C2AB3C3，A的对边与斜边的比值，是一个固定值。设计意图：让学生认识到新知识的形成，光有不完全归纳法是不够的，我们还需要运用已有的旧知识来解释它，同时培养学生对不同知识的融会贯通的能力。通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边与斜边的比值总是固定不变的”。但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃。对于这个问题
8、，部分学生可能能解决它。因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。2定义、辨析正弦概念教师引导给出正弦概念：如图，在RtABC中，A、B、C所对的边分别记为a、b、c。师：在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦。记作sinA。sinA 问题4：B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？师生活动：明确正弦的概念，并让学生带着下列问题阅读教科书：注意：1sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2正弦的四种表示方式：sinA、sin56、sinDEF
9、、sin1；3sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。设计意图：关注学生对正弦概念理解的深度，对知识的条理是否清晰。问题5：引导学生思考：当A为锐角时，sinA的值会在什么范围内？师生活动：学生思考后，由基础较好的学生回答。设计意图：这个问题对于基础较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来。这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神。3练习、巩固概念（1）、在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是 。（2）、在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A
10、的 ，记作 ，（3）、如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD设计意图：关注对概念的认知以及对基础知识的落实。（4).在ABC中，B为直角，已知AC=200, sinA=0.6.求BC的长。设计意图：考察学生对概念的灵活运用能力，规范书写格式，强化对基础知识的落实。加深对正弦概念的理解。 4归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容： （1）、引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。教师可适当补充：本节课
11、经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。（2）、扩展：当锐角为30时，它的对边与斜边比值我们知道。今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的。如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了。看来这个比值很重要，今后我们还会继续研究这个“比值”，有兴趣的同学课后可以预习一下。通过这种扩展，不仅对正弦概念有了更深的理解，同时又对今后的学习起到了引领的作用。5. 布置作业教科书第77页练习。六、目标检测设计1如图，在直角ABC中，C90o，
12、若AB5，AC4，则sinA（ ）A B C D设计意图：检测学生对正弦的概念的最基本的掌握情况，以及能否辨别对边、斜边。2三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是 A B C D设计意图：检测学生对正弦的概念的最基本的掌握情况，以及能否通过计算求出对边、斜边，从而求出正弦值。3、在ABC中，C=90，BC=2，sinA=，则边AB的长是( )A B3 C D 设计意图：检测学生对正弦的概念的逆向思维能力，考察学生对正弦的概念能否灵活运用。4、如图:在RtABC中, C=90CDAB. sinB可以由哪两条线段之比得到? 若C=5,CD=3, 求sinB的值。EOABCD设计意图：1、求正弦值或运用正弦值求线段时，要根据正弦的概念，找准相应的边；2、让学生理解到正弦值只是一个比值，不能直接当作边长用。5、如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，且AB5，BC3则sinBAC= ；sinADC= 设计意图：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。1
