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1、 第二十一讲:初等数论 1 第二十一讲:自主招生数学试题中的初等数论杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699） 初等数论由于其形式简单,所用的知识不多且富有灵巧性,因而受到大学自主招生考试的青睐.自主招生考试中的数论内容和方法涵盖了数论的主要内容和主体方法. .知识拓展 1.高斯函数: .定义:x表示不超过实数x的最大整数.则y=x称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=x+(01),这里,x称为x的整数部分,而,即x-x称为x的小数部分,记x=x-x. .性质:n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,x
2、R,则=x,特别地,=,=(证明:由x-1xxxnxnxn(x+1)xx+1=x). 2.质数合数: .定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数);一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数; .性质:质数中只有一个偶数;如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2;质数有无穷多个;任何合数都可以分解为几个质数的积;合数n的最小质因数不大于; 3.整数分解: .唯一分解定理:任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式,并且分解的形式是唯一的;其
3、中,n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m)称为n的标准分解式; .约数个数定理:如果正整数n的标准分解式:n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m),则n的所有约数(包括1和n)的个数d(n)=; .约数和定理:如果正整数n的标准分解式:n=(pi为质数,i为正整数,i=1,2,m),则n的所有约数包括1和n)的和(n)=; .阶乘分解定理:在n！的标准分解式中,质数p的幂指数=+. 4.整除性质: .整除定义:设a、b为整数,如果存在整数k,使得b=ka,则称a整除b,记为a|b,否则记为ab;特别地,如果an|b,且an+1b(nN+),记作anb. .整除性质:若a|b,b0
4、,则|a|b|;若a|b,kZ,则a|kb;若a|b,nN+,则an|bn;若a|b,b|c,则a|c;若a|c,b|c,(a,b)=1,则ab|c;若a|b,a|c,m、kZ,则a|(mb+kc);若a|b,a|(b+c),则a|c;若a|bc,(a,b)=1,则a|c;若p为质数,p|ab,则p|a,或p|b;若p为质数,p|an,nN+,则p|a. .整除结论:任意n个连续整数的积能被n整除;任意n个连续整数的积能n！被整除;若a、b、m、nN+,且(a,b) 2 第二十一讲:初等数论 =1,则(am+bm)|(an+bn)的充要条件是m|n;若a、b、m、nN+,且(a,b)=1,则(
5、am-bm)|(an-bn)的充要条件是m|n; .整除特征:一个整数能被2整除的充要条件是这个数的个位数字是偶数;一个整数能5被整除的充要条件是这个数的个位数字是0,或5;一个整数能被4整除的充要条件是这个数的未两位数能被4整除;一个整数能被3整除的充要条件是这个数的各位数字之和能被3整除;一个整数能被9整除的充要条件是这个数的各位数字之和能被9整除;一个整数能被11整除的充要条件是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除;一个整数a=10x+y能被10n-1(nN+)整除的充要条件是(10n-1)|(x+ny);一个整数a=10x+y能被10n+1(nN+)整除的充要条件是(10
6、n+1)|(x-ny). 5.同余理论: .同余定义:对正整数m,若整数a与b被除m的余数相等,则称a与b对模m同余,记作ab(modm); .同余性质:若ab(modm),bc(modm),则ac(modm);若ab(modm),cd(modm),则(ac)(bd)(modm),acbd(modm),anbn(modm);若acbc(modm),(c,n)=d,则ab(mod),特别地,若acbc(modm),(c,n)=1,则ab(modm);若n|m,ab(modm),则ab(modn);若ab(modmi),则ab(modm1m2mk),则若(a,b,m)=d,ab(modm),则(m
7、od);若ab(modm),则(a,m)=(b,m); .费马定理:若p为质数,且(a,p)=1,则ap-11(modp);若p为质数,对任意整数a,apa(modp); 6.公约公倍: .(i)最大公约:设a,b,c是(有限个)不全为零的整数,则同时整除a,b,c的整数叫做它们的公约数;因非零整数的约数有有限个,故a,b,c的公约数有有限个,其中必有一个最大的,我们称它为a,b,c的最大公约数.记为(a,b,c);特别地,若(a,b,c)=1则称a,b,c互素;若a,b,c中任意两个都互素,则称a,b,c两两互素; (ii)最小公倍:同时是a,b,c倍数的整数称为它们的公倍数,最小正的公倍数
8、叫做最小公倍数,记为a,b,c. .基本性质:a和b的任一公约数都是它们最大公约数的约数;a和b的任一公倍数都是它们最小公倍数的倍数;若b|a,则(a,b)=b,a,b=a;若mN+,则(am,bm)=m(a,b),am,bm=ma,b;若n是a,b的公约数,则(,)=,=;设a1,a2,an是任意n个正整数,如果(a1,a2)=c2,(c2,a3)=c3,(cn-1,an)=cn,则(a1,a2,an)=cn;如果a1,a2=c2,c2,a3=c3,cn-1,an=cn,则a1,a2,an=cn;对任意的正整数a,b,(a,b)a,b=ab;(a,b)=1,则a,b=ab;若a|bc,且(a
9、,b)=1,则a|c;若a|c,b|c,且(a,b)=1,则ab|c;若(a,b)=1,则(ac,b)=(c,b);若a,b=m,则(,)=1;若(a,m)=1,且(b,m)=1,则(ab,m)=1;设a1,a2,an是任意n个正整数,则:(a1,a2,an)=(a1,a2,an-1),an),a1,a2,an=a1,a2,an-1,an; .裴蜀定理:设a、b、d是整数,则a,b的最大公约数为d的充要条件是存在整数x,y,使得d=xa+yb,且d|a,d|b;推论:(a,b)=1的充要条件是存在整数x,y,使得xa+yb=1;当(a,b)=1时,xa+yb可以表示任意整数;如果a、b是正整数
10、,则(a,b)=1的充要条件是存在正整数x,y,使得xa-yb=1;如果(a,b)=1,则任意整数m可表示为ua+vb的形式,其中,0ub,vZ. .归类分析 1.高斯函数:例1:(2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题)找出所有满足tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanC的非直角三角形ABC.解析:设tanA=x,tanB=y,tanC=z,由xx,yy,zzx+y+zx+y+z,而由tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanCx+y+zx+y+z,所以,x+y+zx+y+zx+y+zx=x,y=y,z=z,即x,y,z均为整数,又 第二十一讲:初等数论 3
11、 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCx+y+z=xyz,不妨设xyz,则x,y,z中至多有一个为负.若x0,z0y1,z1xyzx0,则x=tanA(A为最小角)tan600=x=11+y+z=yzy=2,z=3这样ABC的只有tanA=1,tanB=2,tanC=3.练习1:1.(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以x表示不超过x的最大整数,试确定sin1+sin2+sin3+sin4+sin5的值. (2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则sin1+cos2+tan3+sin4+cos5+tan6= . (2008年全国高
12、中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k2时,xk=xk-1+1-5+5,yk=yk-1+-.其中,a表示实数a的整数部分,例如206=2,0.6=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . (2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则lg1+lg2+lg3+lg2010= . (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)x表示不超过x的最大整数,若log36+log37+log38+log3(n-1)+log3n=2009,试确定正整数n的值.2.
13、(2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+2.6m-0.2+y+-2c除以7的余数,其中,c表示年的前两位数字(即世纪),y表示年的后两位数字,d表示日,m表示月对应的数字月份123456789101112对应的m值111212345678910(见表).x表示不于x的最大整数.则2008年6月18日是星期 . (2005年上海交通大学保送生考试试题)对于数列xn:1,3,3,3,5,5,5,5,5,即正奇数k有k个,是否存在整数r,s,t,使得对于任意正整数n都有an=r+t恒成立(x表示不超过x的最大整数)？ (2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列xn:1,3,3,3,5,5,5,5,5,由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数k连续出现k次,k=1,3,5,如果这个数列的通项公式为xn=a+d,则a+b+c+d= . (2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设an=+,则= . (2011年全国高中数学联
