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1、2023年余弦定理及其证明 余弦定理及其证明 1.三角形的正弦定理证明： 步骤1.在锐角ABC中，设三边为a，b，c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R
2、 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明： 平面几何证法： 在任意ABC中 做ADBC. C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC 2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 3在ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c2=a2+b2-2ab*
3、cosC a2=b2+c2-2bc*cosA b2=a2+c2-2ac*cosB 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。 过A作ADBC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c2=(AD)2+(BD)2，(AD)2=b2-(CD) 2所以c2=(AD)2-(CD)2+b2 =(a-CD)2-(CD)2+b2 =a2-2a*CD+(CD)2-(CD)2+b2 =a2+b2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c2=a2+b2-2ab*cosC 题目中2表示平方。 2谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定
4、理有好几种不同的证明方法.人教A版教材数学(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理)=; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是ABC的三条高。则
5、有 AD=bsinBCA， BE=csinCAB， CF=asinABC。 所以SABC=abcsinBCA =bcsinCAB =casinABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是ABC的3条高。则有 AD=bsinBCA=csinABC， BE=asinBCA=csinCAB。 证法三：如图2，设CD=2r是ABC的外接圆 的直径，则DAC=90，ABC=ADC。 证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 因为AB=AC+CB， 所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.因为jAC=0， jCB=|j|CB|cos(90-C)=asinC， jAB=|j|AB|cos(90
6、-A)=csinA. 二、余弦定理的证明 法一：在ABC中，已知，求c。 过A作， 在Rt中， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： 证明： 故式成立，再由正弦定理变形，得 结合、有 即.同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC，则BAC=-B， C(acos(-B),asin(-B)=C(-acosB,asinB).根据向量的运算： =(-acosB,asinB)， =-=(bcosA-c,bsinA), (1)由=
7、：得 asinB=bsinA,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA， 又|=a, a2=b2+c2-2bccosA. 同理： c2=a2+b2-2abcosC; b2=a2+c2-2accosB. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accosB. 即b2=a2+c2-2accosB.(4) 余弦定理及其证明 余弦定理证明 余弦定理公式的含义及其证明 正余弦定理的证明及其作用 余弦定理证明过程 怎么证明余弦定理 余弦定理证明过程 正、余弦定理及其应用 余弦定理 余弦定理
