空间向量和立体几何典型例题

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1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题：Ai在底面ABC1.（2008全国I卷理）已知三棱柱ABCABQi的侧棱与底面边长都相等,内的射影为ABC的中心，则A.1B./33i.解：C.由题意知三棱锥AABi与底面ABC所成角的正弦值等于（ABC为正四面体，设棱长为a,则ABJ3a,棱柱的高AOJa i.答案：一.设 AB 2,作 CO 面ABDE, 6OH AB,则 CH AB, CHO为二面角 C AB CH 石OH CH cos CHO i ,结合等边三角形AO2Ja2(2孝a)2（即点Bi到底面ABC的距离），故ABi与山A。2底面ABC所成角的正弦值为-.AB13uuuULLTLLUT另

2、解：设AB,AC,AA为空间向量的一组基底,LUULUTUUTAB,AC,AA的两两间的夹角为600mLlLTLLITiLLL长度土匀为a,平面ABC的法向量为OAAA-ABiuuur山5AC,ABi3rnmLmrABAALmrLmrOAiABi则AB与底面ABC所成角的正弦值为、,3山打LmrOAABLLIT|山|11AOAB、2Lmr i miiT llt 山山 i Lmr 业AN -(AC AB),EM -AC AE,Lmr rniLLT i lliit i miiT liltiAN EM -(AB AC) (-AC AE)一22 批 “2LUT LLUT人AN EM iEM , AN出

3、世用以乐宜1且LU! IANLULLEM6与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则 AN EM另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,、填空题:i.（2008全国I卷理）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角c.3八-1皿CABD的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点，则EM,AN所成角的余3-i弦值等于一.xi题图（2）-6则点A(1,1,0),B(1,1,0),E(1,1,0),C(0,0,.2),1M(一22,21)，N(2,1、2、2,2uuir则AN故EM,uuur,EM(31(2,21302,2,2uuir二),anuuuuEMULUTuuurANEM1

4、ULLTuumi.6ANEMAN所成角的余弦值1uuur-,AN2uuur_EMV3,O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形,三、解答题：1.(2008安徽文)如图，在四棱锥ABC-,OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点。4(I)求异面直线AB与MD所成角的大小；(n)求点B到平面OCD的距离。1 .方法一(综合法)(1) QCDIIAB,MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)作APCD于P,连接MPvOA平面ABCD,：CDMP,2ADP,.DP=42vMD.MA2AD22,DP1.cosMDP,MDCMDP一MD23所以AB与MD所成角的大小为一3(2)VAB|平面OCD

5、；.点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作AQOP于点Q,.APCD,OACD,/.CD平面OAP,vAQ平面OAP,：AQCD又vAQOP,：AQ平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离vOPOD2DP2AQOAgAPOPJoa2AD2Dp241132,AP222。2g22_2,所以点B到平面OCD的距离为一3233DP方法二(向量法)作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系A(0,0,0), B(1,0,0), p(04,0),d( ,0),o(0,0,2),m(0,0,1),(1)设AB与MD所成的角为uuuABuuuu(1,

6、0,0), MDuuu uuurABgMDluu uuLuAB MD、2、2,1)Azc yAB与MD所成角的大小为uuu . 2 uuur(2) OP (0, ，2),OD2设平面OCD的法向量为n32 22)万万，2)uuu(x, y,z),则 ngOP 0,numrgOD 0设点B到平面OCD,2 c cy 2z 02-22x y 2z 022(0,4, -2)uuu一的距离为d ,则d为OB在向量n (0, 4,V2)上的投影的绝对值，uuu- OB (1,0, 2), duuuOB n所以点B到平面OCD的距离为-32. (2008安徽理)如图，在四棱锥 O ABCD中，底面ABCD

8、PMD23所以 AB与MD所成角的大小为(3) AB |平面OCD；.点A和点3B到平面OCD的距离相等，连接 OP,过点A作AQOP于点Q,APCD,OACD,：CD平面OAP,：AQCD又vAQOP,：AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离. OPDP2OA2 AD2 DP2APDP-22AQOAgAPOP_ 22gr3 22222 ,所以点B到平面OCD的距离为-方法二(向量法)作APCD于点P,如图分别以AB,AP,AO所在直线为X,y,Z轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0),D(李,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1,0)uuuu

9、(1) MN.22uuu2uuur2.2(1，1),OP(0,，2),OD(，2)44222uuuuuir设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则ngOP取zocy2z02-2:2xy22(0,4,-2)2zumuVMNgn(12，空441)g(0,412)MN|平面OCD(2)设AB与MD所成的角为uuuuuur、2JAB(1,0,0),MD(2、212,1)00uuuuuunABgMDuuuuuABMD,AB与MD所成角的大小为一33uuu设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n(0,4,J2)上的投影的绝对值,uuuOB(1,0,2),得duurOBn2_，2.所以点B到平面O

10、CD的距离为一3.(2008北京文)如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,/ACB=90,AP=BP=AB,PCXAC.(I)求证：PCXAB;(n)求二面角B-AP-C的大小.3.解法一：(I)取AB中点D,连结PD,CD.AP=BP,.PDXAB.AC=BC.CDXAB.PDnCD=D.AB,平面PCD.PC平面PCD,PCMB.(n).AC=BC,AP=BP,.丛PgzBPC.又PCXAC,.PCXBC.又/ACB=90,即ACBC,且ACAPC=C,.AB=BP,.BE,AP.EC是BE在平面PAC内的射影,.CEAP./BEC是二面角B-AP-C的平面角.在ABCE中，ZBCE

11、=90,BC=2,BE=AB2BC6sinZBEC=BE3二面角B-AP-C的大小为aresin旦解法二：(1) .AC=BC,AP=BP,.ZAPgEPC.又PCXAC.PCLBC.ACABC=C,.PC,平面ABC.AB平面ABC,.PCLAB.(n)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0)设P(0,0,t),.IPB|=|AB|=2五,.t=2,P(0,0,2).BAP中点E,连结BE,CE.IAC|=|PCI,|AB|=|BP|,.CEAP,BEAP./BEC是二面角B-AP-C的平面角. cos ZBEC=EC EBEC E

12、BE(0,1,1),EC(0,1,1),EB(2,二二面角B-AP-C的大小为arccosBC 2, ACB 90o,4.(2008北京理)如图，在三棱锥PABC中，ACAPBPAB,PCAC.(I)求证：PCAB;(n)求二面角BAPC的大小；(出)求点C到平面APB的距离.4.解法一：(I)取AB中点D,连结PD,CD.QAPBP,PDAB.QACBC,CDAB.QPDICDD,AB平面PCD.QPC平面PCD,PCAB.（n）QACBC,APBP,APCABPC.又PCAC,PCBC.又ACB900,即ACBC,且ACIPCBC平面PAC.取AP中点E.连结BE,CE.QABBP,BEAP.QEC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角BAPC的平面角.在BCE中，BCE90,BC2,BEBC、6sinBEC.BE36二面角BAPC的大小为arcsin一3（出）由（I）知AB平面PCD,平面APB平面PCD.过C作CHPD,垂足为H.Q平面APBI平面PCDPD,CH平面APB.C,CH的长即为点C到平面APB的距离.由（I）知PCAB,又PCAC,PC平面ABC.QCD平

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