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1、高等数学教案第五章定积分第五章定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形 设函数y f(x)在区间a b上非负、连续 由直线x a、x b、y 0及曲
2、线y f (x)所围成 的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间a b中任意插入若干个分点a xo x1 x2xn 1 xn b把a b分成n个小区间xo x1 x1 x2 x2 x3xn 1 xn 它们的长度依次为x1x1xox2x2x1xnxnxn1经过每一个分点作平行于 y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间xi 1 xi上任取一点i以xi1 xi为底、f ( i)为高的窄矩形近似替
3、代第i个窄曲边梯形(i 1 2n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nA f ( 1)x1 f ( 2)x2 f ( n ) xnf ( i) xi 1求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积 A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此 要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记max xi X2xn 于是0所以曲边梯形的面积为相当于令上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零nA lim f ( i) xi0i iv v是时间间隔T i T 2上t的连续函数且v0计算在这2变速直线运动的路程设物
4、体作直线运动已知速度段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T i T 2分成n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i)物体在时间间隔ti内运动的距离近似为S v( i) ti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1T 2内所经过的路程 S的近似值具体做法是在时间间隔T i T 2内任意插入若干个分点T 1 to t 1 t 2 tn 1 t n T 2 把T i T 2分成n个小段t 0 t 1 t 1 t 2tn 1 t n各小段时间的长依次为t 1 t 1 t 0 t 2
5、t 2 t 1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为在时间间隔t i 1 t i上任取一个时刻i(ti1个时刻的速度得到部分路程Si的近似值 即i ti)以i时刻的速度V( i)来代替ti1 t i上各#n)S的近似值即Si v( i) ti (i 1 2于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程nS v( i) tii 1求精确值记 max t 1 t 2 tn当 0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程nS lim v( i) ti0i 1求直线x a、x b、y 0设函数y f(x)在区间a b上非负、连续 及曲线y f(x)所围成的曲边梯形的面积(1)用分点a xo xi
6、 x2xn 1 xn b把区间a b分成n个小区间x0xixix2x2x3xn 1 xn 记 xixixi1 (i 1 2 n)(2)任取i xi 1 xi以xi 1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为f( i) x (i 1 2 n)所求曲边梯形面积A的近似值为nA f( i) Xi i 1记 max xi X2xn所以曲边梯形面积的精确值为nA lim0f( i) xii 1设物体作直线运动已知速度v v(t)是时间间隔T 1 T 2上t的连续函数且v(t) 0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点T1to t1t2tn 1tnT2把时间间隔T 1 T2分成n个小时间段tot1t1
7、t2tn 1tn记tititi 1 (i 1 2 n)(2)任取i ti 1 ti在时间段ti 1 ti内物体所经过的路程可近似为v( i) ti(i 1 2 n)所求路程S的近似值为nS v( i) ti i 1记 max t1t2tn所求路程的精确值为nS limov( i) ti0 i 1、定积分定义就抽象出下抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括述定积分的定义定义 设函数f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干个分点把区间a b分成n个小区间各小段区间的长依次为a xo xi x2xn 1 xn bx0 xi xi x2xn 1 xnxn xn xn
8、1作函数值f ( i)与小区间长度xi的乘积xi xi xox2 x2 xi在每个小区间xi 1 xi上任取一个点i (xi 1 ixi)f ( i) xi (i 1 2 n) 并作出和 nS f( i) Xii 1记 max xi X2xn如果不论对a b怎样分法 也不论在小区间xi i Xi上点i怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a b上的定积分记作abf(x)dxbn即f(x)dx lim f( i) xia0i i其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限a b叫做积分区间定义
9、设函数f(x)在a b上有界 用分点a xo xi x2xn 1 xn b把a b分成n个小区间xoxixix2xn1xn记 xixixi1(i1 2 n)任 i xi i xi (i 1 2 n)作和nS f( i) xii 1记 max xix2xn如果当 0时 上述和式的极限存在且极限值与区间a b的b 分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间a b上的定积分记作 f(x)dxabn即f(x)dx lim f( i) xa0i ib根据定积分的定义曲边梯形的面积为 A f(x)dxa丁2变速直线运动的路程为S T v(t)dtTi说明定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分
10、变量的记法无关 即bbbf (x)dx f (t)dt f(u)duaaan(2)和 f( i) xi通常称为f (x)的积分和 i 1(3)如果函数f (x)在a b上的定积分存在我们就说f (x)在区间a b上可积函数f(x)在a b上满足什么条件时f (x)在a b上可积呢？定理1设f (x)在区间a b上连续 则f (x)在a b上可积定理2 设f (x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点则f (x)在a b上可积定积分的几何意义b(在区间a b上 当f(x) 0时 积分f(x)dx在几何上表示由曲线y f (x)、两条直线x a、x b与ax轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)。
11、时 由曲线y f (x)、两条直线x a、x b与x轴所围成的 曲边梯形位于x轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值f(x)dxnlim0f( i) xinlim f( i) x 0i 1ba f(x)dxa当f (x)既取得正值又取得负值时 的下方如果我们对面积赋以正负号函数f(x)的图形某些部分在 x轴的上方而其它部分在x轴在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分ba f (x)dx的几何意义为它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x a、x b之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分1x2dx0解 把区间
12、0 1分成n等份 分点为和小区间长度为x -(i 1 2 n 1) x l(i 1 2 n) nn取i ：(i 1 2 n)作积分和f(i)xin心211 n nn-1i231n i 11 1常石n(n1 1)(2n 1i(1因为n当0时n所以1x2dx lim f ( i) xi lim (1 1)(2 )00i 1n 6 n n利定积分的几何意义求积分1例2用定积分的几何意义求0(1 x)dx解：函数y 1 x在区间0 1上的定积分是以y 1 x为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面 积 因为以y 1 x为曲边 以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以1111x)dx1
13、1 11022三、定积分的性质两点规定,r b(1)当 a b 时 f(x)dx 0 a当 a b 时 :f(x)dx : f(x)dx性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即bbba【f(x) g(x)dx f(x)dx ag(x)dx aaa证明：bf(x) g (x)dx anlimn f( i) g( i) xi 0i inlim01f ( i) xnlim01g( i) xbba f(x)dx a g (x)dx aa性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即bba kf (x)dx k a f (x)dxbn这是因为kf(x)dx lim kf( i) xa0i inklim f ( i)oi ixibaf(x)dx性质如果将积分区间分成两部分 和即则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论 a b c的相对位置如何总有等式bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac成立例如当abc时由于cbca f(x)dx a f(x)dx bf (x)dx于是有ba f(x)dxca f(x)dx
