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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则 （A）（B）（C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）“”是“曲线过坐标原点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件开始i=0，S=1 i=i+1i2是
2、输出S结束否（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1（B）（C）（D）（5）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 线关于y轴对称，则（A）（B）（C）（D）（6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（A）（B）（C）（D）（7）直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直，则l与C 所围成的图形的面积等于（A）（B）2（C） （D）（8）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得m的取值范围是（A）（B）（C） （D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在极坐标系中，点到直线的距离等于_（10）若等比数列满足，则公比_；前n项和_a
3、bc（11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D若，则_；_ABCDPEA1B1C1D1（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_（13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若c=a+b（，R），则_（14）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分） 在ABC中，（）求的值；（）求c的值（16）（本
4、小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（）求此人到达当日空气重度污染的概率；（）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，（）求证：平面；（）求证二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值（18）（本小题共13分） 设L为曲线在点处的切线（）求L的方程；
5、（）证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方（19）（本小题共14分） 已知A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点（）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由（20）（本小题共13分）已知是由非负整数组成的无穷数列设数列前n项的最大值为，第n项之后各项，的最小值记为，（）若为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，）， 写出、的值；（）设d是非负整数证明：的充分必要条件是是公差为d的 等差数列；（）证明：若，则的项只能是1或者2，且有无穷多项 为12013年普通高等学校招生
6、全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）B（2）D（3）A（4）C（5）D（6）B（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1（10）2（11）4（12）96（13）4（14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（）因为，所以在ABC中由正弦定理得所以故（）由（）知，所以又因为，所以所以在ABC中所以（16）（共13分）解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，13） 根据题意，且（）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 所以 （）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
7、且所以X的分布列为：X012P故X的期望（）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 （17）（共14分）解：（）因为，所以xzy因为，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以平面（）由（）知， 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以D如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即令z=3，则x=0，y=4，所以同理可得平面的法向量为所以由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为（）设点D是直线BC1上一点，且所以解得所以由，即，得因为，所以在线段BC1上存在点D，使得此时 （18）（共13分）解：（）设，则所以所以L的方程为（）令，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于
8、满足，且当0x1时，所以故单调递减；当x1时，所以故单调递减所以所以除切点之外，曲线C在直线L的下方 （19）（共14分）解：（）椭圆的右顶点B的坐标为（2，0）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A（1，m），代入椭圆方程得，即所以菱形OABC的面积是（）假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为由消去y并整理得设，则所以AC的中点为因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为因为，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC不可能是菱形 （20）（共13分）解：（），（）（充分性）因为是公差为d的等差数列，且d0，所以因此， （必要性）因为，所以又因为，所以于是，因此，即是公差为d的等差数列（）因为，所以，故对任意n1，anB1=1假设不存在大于2的项设m为满足am2的最小正整数，则，并且对任意1km，ak2又因为，所以Am-1=2，且Am=am2于是，故，与矛盾所以对于任意n1，an2=a1，所以An=2故因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且，即数列有无穷多项为1内容总结（1）2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共4页，150分（2）考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效（3）（）求证二面角的余弦值
