《数学新同步湘教版选修23讲义精练:第8章 8.3 正态分布曲线 Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学新同步湘教版选修23讲义精练:第8章 8.3 正态分布曲线 Word版含解析(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、8.3正态分布曲线读教材填要点1正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念:函数p(x)e,x(,),其中实数,(0)为参数,我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线(2)正态曲线的特点曲线位于x轴上方,与x轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线x对称;p(x)在x处达到最大值;当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移;当一定时,越大,正态曲线越扁平;越小,正态曲线越尖陡;曲线与x轴之间所夹的面积等于1.2标准正态分布随机变量X为服务从参数为和2的正态分布,简记为XN(,2)特别当0,21时称为标准正态分布,其密度函数记为(x)e (x),其图象如图所示,简记为XN(0,1),其分布函数记为(x
2、)(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率P(x)68.3%;P(2x2)95.4%;P(3x3)99.7%.小问题大思维1正态曲线,(x)中参数,的意义是什么?提示:参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值E(X)去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本方差D(X)去估计2如何由正态曲线求随机变量X在(a,b的概率值?提示:随机变量X落在区间(a,b的概率为P(aXb),(x)dx,即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是随机变量X落在区间(a,b的概率近似值,如图所示3设两个正态分布N(1,)(10)和N(2
3、,)(20)的密度函数图像如图所示则1与2,1与2的大小关系是什么?提示:根据正态分布曲线的性质:正态分布曲线是一条关于x对称,在x处取得最大值的连续钟形曲线;越大,曲线越“矮胖”;越小,曲线越“瘦高”故12,12.也可通过比较两图象的最高点来判断,和,显然有1,12.正态曲线及其性质例1某次我市高三教学质量检测中, 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多, 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析由题中图象可知三科总体的平均数(均
4、值)相等, 由正态密度曲线的性质,可知越大, 正态曲线越扁平;越小, 正态曲线越尖陡, 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 答案A利用正态曲线的性质可以求参数,(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x对称,由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x处达到峰值,由此性质结合图象可求.(3)由的大小区分曲线的胖瘦1若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,求该正态分布的概率密度函数的解析式解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以正态曲线关于y轴对称,即0,而正态分布的概率密度函数的最大值是,所以,解得4.故函数的解析式为,(x)e,x(,)利用正态分布的对称性求概率例2设
5、XN(1,22),试求:(1)P(1X3);(2)P(3X5)解因为XN(1,22),所以1,2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 7.(2)因为P(3X5)P(3X1),所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 50.682 7)0.135 9.正态变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(X),P(2X2), P(3X3)的值(3)注意概率值的求解转化:P(Xa)1P(Xa);P(Xa)P(Xa);若b,则P(Xb).2已知随机变量XN(2,2)
6、,若P(Xa)0.32,则P(aX4a)_.解析:由正态分布图象的对称性可得:P(aX4a)12P(Xc1)P(Xc1)(1)求c的值;(2)求P(4c1)P(Xc1),故有2(c1)(c1)2,c2.(2)P(4X8)P(223X223)P(21.26);(3)P(0.511.26)1P(X1.26)10.896 20.103 8.(3)P(0.512)0.023,求P(2X2)解:因为随机变量XN(0,2),所以正态曲线关于直线x0对称又P(X2)0.023,所以P(X2)P(X4),所以P(X4)1P(X4)10.20.8.解题高手妙解题某厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)质检
7、人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?尝试 巧思要判断这批零件是否合格,由假设检验的基本思想可知,关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间(3,3)之内,还是在区间(3,3)之外若该零件的外直径在区间(3,3)之间,则认为该厂这批零件是合格的,否则,就认为该厂这批零件是不合格的妙解由于圆柱形零件的外直径N(4,0.25),由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(430.5,430.5),即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026,而5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生
8、的小概率事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂这批零件是不合格的1正态分布密度函数为,(x)e,x(,),则总体的平均数和标准差分别是()A0和8B0和4C0和2 D0和解析:选C由条件可知0,2.2右图是当X取三个不同值X1,X2,X3的三种正态曲线N(0,2)的图像,那么1,2,3的大小关系是() A11230B01212130D01213解析:选D当0,1时,正态曲线f(x)e.在x0时,取最大值,故21.由正态曲线的性质,当一定时,曲线的形状由确定越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线越“矮胖”,于是有01214)0.2,而P(X4)P(X0),又P(X2)0.5,P(0X2)P(X2
9、)P(X0)0.50.20.3.4若随机变量xN(,2),则P(x)_.解析:由于随机变量xN(,2),其正态密度曲线关于直线x对称,故P(x).答案:5设随机变量XN(4,2),且P(4X8)0.3,则P(X0)_.解析:P(4X8)0.3,P(0X4)0.3.P(X0)0.2.答案:0.26已知XN(1,4),求X落在(,3)内的概率解:由题意知1,2,P(1X3)P(123)(10.683)0.158 5,在(,3)内取值的概率为10.158 50.841 5.一、选择题1已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2X4)0.682 6,则P(X4)()A0.158 8B0.158
10、7C0.158 6 D0.158 5解析:选B正态曲线关于3对称,P(X4)0.158 7.2设随机变量X服从正态分布N(2,2),若P(Xc)a,则P(X4c)等于()Aa B1aC2a D12a解析:选B因为X服从正态分布N(2,2),所以正态曲线关于直线x2对称,所以P(X4c)P(Xc)1a.3若随机变量XN(2,100),若X落在区间(,k)和(k,)内的概率是相等的,则k等于()A2 B10C. D可以是任意实数解析:选A由于X的取值落在(,k)和(k,)内的概率是相等的,所以正态曲线在直线xk的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等,于是正态曲线关于直线xk对称,即k,而2,k2.4已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件