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1、1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形,还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至多种图形的组合。变幻多姿,奇趣迷人。一般按数字的组合形式,将其分为三类,即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。数阵的特点是:每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字,要求填入指定的图中,使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是:1.求出条件中若干已知数字的和。2.根据“和相等”,列出关系式,找出关键数重复使用的数。3.确定重复用数后,对照“和相
2、等”的条件,用尝试的方法,求出其他各数。有时,因数字存在不同的组合方法,答案往往不是唯一的。1.10.5.2辐射型数阵例1 将15五个数字,分别填入下图的五个中,使横、竖线上的三个数字和都是10。解:已给出的五个数字和是:1234515题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20了。20155,怎样才能增加5呢?因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5,关键找到了,中心数必须填5。确定中心数后,按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端,使每条线上数的和是10便可。例2将17七个数字,分别填入图中的各个内,使每条线上的三个数和相等。解:图中共有3
3、条线,若每条线数字和相等,三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a,则a被重复使用了2次。即,12345672a282a,282a应能被3整除。(282a)32832a3其中2839余1,所以2a3应余2。由此,便可推得a只能是1、4、7三数。当a1时,282a30 30310,其他两数的和是1019,只要把余下的2、3、4、5、6、7,按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a4、a7两端应填入的数。例3将从1开始的连续自然数填入各中,使每条线上的数字和相等。解:图中共有三条线,若每条线数字和相等,三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a,a被重复使用了两次,即:123102a552a,
4、552a应能被3整除。(552a)35532a3其中,55318余1,所以2a3应余2。由此,可推知a只能在1、4、7中挑选。在a1时,552a57,57319,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1,在其余九个数字中,只有两组可满足这一条件,即:97218,86418,75315所以,a不能填1。经试验,a7时,余下的数组合为12(19712),也不能满足条件。因此,确定a只能填4。例4将19九个数字,填入下图各中,使纵、横两条线上的数字和相等。解:19九个数字和是:12395945,把45平分成两份:45222余1。这就是说,若使每行数字和为23,则需把1重复加一次,即
5、中心数填1;若使数字和为24,中心数应填3。总之,因452余数是1,只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用,才有可能使横、竖行的数字和相等。因而,此题可有多种解法。但中心数必须是9以内的奇数。例5 将111十一个数字,填入下图各中,使每条线段上的数字和相等。解:图中共有五条线段,全部数字的总和必须是5的倍数,每条线上的数字和才能相等。111十一个数字和为66,66513余1,必须再增加4,可使各线上数字和为14。共五条线,中心数重复使用4次,填1恰符合条件。此题的基本解法是:中心数重复使用次数与中心数的积,加上原余数1,所得的和必须是5的倍数。据此,中心数填6、11均可得解。1.10.5.3
6、封闭型数阵例1把2、3、4、5、6、7六个数字,分别填入中,使三角形各边上的数字和都是12。解:要使三角形每边上的数字和都是12,则三条边的数字和便是12336,而23456727,36与27相差9。三个角顶的数字都重复使用两次,只有这三个数字的和是9,才能符合条件。确定了角顶的数字,其他各数通过尝试便容易求得了!这题还可有许多解法,上图只是其中一种。例2把19九个数字,分别填入下图中,使每边上四个数的和都是21。解:要使三角形每条边上的数字和是21,则三条边的数字和便是:21363。而19九个数字的和只有45。45比63少18,只有使三角形三个顶角的数字和为18,重复使用两次,才能使总和增加
7、18。所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。确定了顶角的数后,其他各数便容易了。例3下图是四个互相联系的三角形。把19九个数字,填入中,使每个三角形中数字的和都是15。解:每个三角形数字和都是15,四个三角形的数字和便是:15460,而19九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢?靠数字重复使用才能解决。中间的一个三角形,每个顶角都联着其他三角形,每个数字都被重复使用两次。因此,只要使中间的一个三角形数字和为15,便可以符合条件。因此,它的三个顶角数字,可以分别为:1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5与2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。把中间的
8、三角形各顶角数字先填出,其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的一种。例4 把210九个数字,分别填入下图中,使每条直线上的三个数和为15。解:210九个数字的和为:234106954若排成每个三角形每边的数字和都是15,图中含有每边都三个数字的三角形有两个,共六条边,数字总和应是15690。54比90少36。在外围的六个数都被重复使用了两次,它们又分属于两个三角形。所以,每个三角形三个顶角的数和应为:36218。这样,便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为18的有很多组,可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后,里面的三角形,因为顶角的数已知,其他各数便容易填写了。上面
9、是填法中的一种。例5 把110十个数字,分别填入下图中,使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。解:图中有三个三角形,顶角数字互不联系,中心的一个数独立于各个三角形之外。因此,要使各三角形顶角的数字和相等。去掉中心数后,数字总和应是3的倍数,而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。如:以10为中心数,可填为如上图样。例6 将112分别填入下图中,使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。解:图中共有四个三角形,共有六个边。112的数字和是78。每条边上的数字和应为:78613。这样,我们可以推想:因为内部的三条边都被重复计算两次,只要每个数增加1,十二个数的总和便增加6,它们同样可以填出来,因而
10、,本题的解法是很多的。7、把九个数分别填入下图中,使每条直线上的三个数的和都相等。解:九个分数排成方阵,使纵、横、对角线的三个数和相等,这已经符合幻方的要求了,因此,可以按幻方的制作方法求解。这十二个分数,按从小到大的顺序排列是:把它们按序排列为斜方形:将上、下两数,左、右两数对调,再把中间四数向外拉出,这样重新组成的数阵,便是求得的解了。例8 将18八个数字,分别填入下图中,使每个小三角形顶点上三数之和为12。解:图中共有四个小三角形,每个三角形顶点数字的和若都是12,数字总和便是12448,可是18八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用,才能解决。因此,必须把
11、四个公用顶角的数字和填成12。把18八个数四个一组,和为12的有:63215421上述两组中,经验证,只有6321可以作公用顶点的数字。例9 在下图五个内,各填入一个自然数,使图中八个三角形中顶点的数字和各不一样。求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。解:能满足使八个三角形顶点数字和各不一样的任意自然数有很多组,但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。最小的一组自然数中的五个数,若有两个一样的,其中三个数的和可以多到有7个不同值,因此,五个数互不一样。如果这五个数是1,2,3,4,5,则其中三个数的和有如下组合方式:1236 2349 345121247 1348 235102451
12、1这样,总共只有七种不同的和,而图中共八个三角形,可知1,2,3,4,5五个自然数不能满足条件。例10 在下列图中三个正方形中,每个正方形的四个顶点上,只填入1,2,3,4四数,使图中八个三角形顶点数字和互不一样。解:图中,顶角在大正方形边上的四个三角形,顶角都分别为两个三角形共用,只有正方形的四个角分别只属于一个三角形,所以,四个三角形顶点数字的和应等于:(1234)33030不是4的倍数,因而,外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理,里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。题中要求,每个三角形顶点数字和不一样,14四个数之和最小值是1124,最大值是44311,这样共可组成八组数,将八组数分别填入各个三角形顶点,便可符合条件。例11 将18八个数字,分别填入下图中,使每个面的四个数和相等。解:数字图是个正立方体,共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。18八个数的数字总和是:123836因为每个顶点的数都被重复使用三次,所以六个面的数字总和是:363108每个面的数字和便是:108618这样,便可填为下图或其他形式。 /