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1、习题四A 组1 ?填空题设 x = (2,3,7) T , y =(4,0,2) T , z = (1,0, 2)T,且 2 X- a )3y a J , z 那么a = ?解由 2(x -a ) - 3(y a) = z 得=15 a = 2x -3y +z= 61-182 2) 单个向量：?线性无关的充分必要条件是?解悬-0 ?(3)向量组：？= (1, 0,1)=(2, 2,3),:八(1, 3,t)线性相关，那么 解因为匕十 口5+A3?a?1=广10铃、11卜201101人，又110011101=2老，所以矩阵(110、0 110 b可逆，从而等价.故1线性相关.1*2 ,2 *3,
2、 3-13即：1, ： 2,3 与 M 2, 2*3,解因为13t00213 t -1(4)设有向量组5=2t -5 =0 ,所以 t 二一2=-2八-2、，那么向量组：？, 1,、,；线可由-1,j线性表示，所以相关.假设向量组一，、，线性相关，那么向量组1, ： 2： 3的秩小于等于 2,从而可知：1, : 2, 线性a203 1 1 00 1 11 0 h+a203 +% J设行向量组(2,1,1,1) , (2,1,a,a) ,(3,2,1, a) , (4,3,2,1)线性相关，且1a =2设向量组1 pa, 0 c ： )2耳b c , 0,3,令 a线性无关，那么a, b, c必
3、满足关系-2(8)设三阶矩阵维列向量a = (a,1,1 / .A与线性相关，那么a 1选择题(1) n维向量组 a1, a2八1 , as(3 IIL : s 、- ? , -s 均线性相关；(D) ?迥：；BlTJl 1( , : ss, ?亍：ms-?线性无关.答 ( A ). 因为(k1- 川，s-s,11,川，一s线性相关.(3)设向量组：1, : 2jl|, m和向量组 ，一 ：3 IH,-m为两个n维向量组(m_2),且a1 = p2+ p 3 + | + pm ,勺 =片 + % +川 + Pm, IIIHHIIHIHIIIIIII =0 广 0 尹川 + Pm4那么有 (A)
4、 1, 2 l(, m 的秩小于-, HI , m 的秩 ;(B) ： 1, 2, 山， ： m 的秩大于-； - . ： JH, m 的秩 ;(C) 1,2,川，%的秩等于,(，冷的秩；(D) 无法判定.答(C).因为1W0M+ *- F.1 111 伊 1 lj p2 I I 1 # I 1*o HJr III J1 III1+0 III+0 1III10III *b*41 1 III1伊1 I l2 ImA=-1m，所以有1, 2, m ：m与5辽，川，m的秩相等.1 III即：1, 2, | 1(,m 与：1, ： 2, III)F 等价，从而知设有两个n维向量组：1, : 2JIL-
5、m和一，：1( , : m均线性无关，那么向量组(A)线性相关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(B)线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关答(C).例如，% =冷：1, 2关.又如，也线性无关.：2线性相02 =q、0，口2 = 11 ;41 ;001 1、0 ,哄0-1，那么M,那么-1, - 2和：1, ： 2都线性无关，但2和f七都线性无关 -1, 设有向量组A：12,ms与B：，二川，=均线性无关，且向量组 A中的每个向量都不能由向量组B线性表示，同时量组 B中的每个向量也不能由向量组 A线性表示，那么向量组(B)线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关:1?川, ； JH,
6、 -t的线性相关性为(A)线性相关；(C)可能线性相关也可能线性无关答(C).例如，当言丁0 ,和 都线性无关，且那么：,1,2不能由：1, ： 2线性表示，：1, ： 2也不能由1, 2线性表示？但：1, 2, ： 1, ： 2线性相关.白、) jo)P加小口01 o o o 0,又例如1 =! % =；舀=， =；： 2和1,-2都线性无关，且：1, ： 2不能由oo |01Io)o J 11)11 ,：1, J线性表示,：1, ： 2也不能由1, 2线性表示？但1, 2 , ： 1, ： 2线性无关.(6)设向量组I：,2,|l(,r可由向量组口 ： -1,-2dl|,s线性表示，那么
7、?(A )当二S时，向量组II必线性相关；(B)当r . s时，向量组II必线性相关；(C)当r : s时，向量组I必线性相关；(D)当r . s时，向量组I必线性相关.答(D).kA0那么1,21(,s(7)设冷，21(,4均为n维向量，以下结论不正确的选项是 .(A)假设对于任意一组不全为零的数佥也，ks,都有Kr ? k2 2线性无关；(B)假设冷，21(,一线性相关，那么对于任意一组不全为零的数k1,k2/ ,ks，都有1 k 2 2 川 ks ： s 二 0 ；(C) M/2AL?S线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D)-1/2八1 ,答(B) ?(8)设A , B为满足
8、AB = O(A) A的列向量组线性相关,(B) A的列向量组线性相关,(C) A的行向量组线性相关,(D) A的行向量组线性相关, 答(A ) ?3 ?将b一线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关的任意两个非零矩阵，那么必有B的行向量组线性相关；B的列向量组线性相关；B的行向量组线性相关；B的列向量组线性相关?表示为a1, a2, a3的线性组合(1)印二(1,1，- 1)丁 , aA(1,2,1)T, aA(0, 0,1)T, b= (1,0,2)t； a1 =(1,2, 3)T , aA (1,0,4)T, aA(1,3,1)T, b = (3,1,11)1解(1)令 X)a1 x
9、2a 2 X3a3= b,即Xi+ X2 12因为D =10 =1工0,所以由Cramer法那么，得-1X1 = 2, X21, X3令x21 - X2a 2 阳3巾，即J ),)Xi 2 +x? 0 3 = 134!H ；)* ，V *X. JTJT1因为D = 231 10 3 = 3式0,所以由Cramer法那么，得4 1X1 = ，X281,X3 =3381故 b = 0a1 a2a3.334?向量组a1, a2, |l(,b二aa1.证明当r为奇数时b1，b2,a线性无关，且 b二a1a2, b2二 a2 a3,1(, br线性无关；当r为偶数时a, b2, | 1( , b线性相关
10、.解令 X1bi -2b2 j|Xrb- = 0 ,得X1( a1 a2)X2( a2 a3)? | - x(ar aj = 0 ,(X1 Xr)a1 (X1 X2)a2(Xr4 Xr )ar 二 0 .因为a1, a2JH, ar线性无关，所以有X1 +X2 =0, 1 一 iiiminXr 4 Xr 二 0.该方程组的系数行列 D为1 1 o IIIo 1 1川 0 0y 2, r为奇数；+11+ G ? ? =1+()0, r 为偶数.i?00 0 川1 0当r为奇数时D =0,方程组只有零解，即0 0 0 III1 1b, b2, | 1 , br线性无关；当r为偶数时D = 0,方程
11、组有非零解，即b, b2, |比br线性相关.,br = a 1 ? a? -11( a r,证明5 . a?JI|)ar线性无关，且 b =EP, b2 = aH a2b, b2, 11(, b r线性无关.证明因为(1IIIIII:1 0iii 01 1iii 0可逆，即 I+4+T+1 1 III bHI 0b0 aIIIF:1J bJIH#从而a1, a2, |l(, a r与b, b 2, |l(, b r等价,于是得a “ a2JII, a线性无关.弘九,11|,孤，其中 i =1,2| l,m ,而 pp I6.设有两个n维向量组A：可=an,ai2l 潟，B. b1 Pn是1,2,Hl, n这n个自然数的某个排列，证明向量组A与向量组B的线性相关性相同证明令 “1? x?a2 JI, xmam =0，即匕必 + 221X2 +11 汁 =0,am1 XmT +a22X2 +川 + am2Xm
