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1、向量基础知识及应用基本知识：1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；If3. 实数与向量的积入a .向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件 是有且只有一个实数入，使得b -Xa。4.向量a和b的数量积：ab =| a | b |cos，其中为a和b的夹角。向量b在a上的投影：Ib |cos，其中为a和b的夹角a 丄 b o a b =05.向量的坐标表示：0 A = xi + y j = （x，y ）；若向量a = (x，y )，贝9 I a I= x 2 + y 2 ；若 Pi（xi，
2、yi）、P2（ x2 ， y2 ），贝| P1 P2( x 2 - x 1)2 +( y 2 一 y J6.向量的坐标运算及重要结论：若a=（ x1， y1），b =（x2， y2）， 贝i -(a + b = x+ x ，i2y1 一 y2 )X a = (Xx， Xy )11a / b o x y 一 x1 2 2yi = 0a 丄 b o x x + y y =0i 2 i 2cos =x 丄 x 2 + yy, x 2 + y 2 - x 2 + y 2 1 1 2 2为向量的夹角）7点P分有向线段Pi P2所成的比的入：P PPP = X PP，或 X =12PP2P内分线段P P2
3、时，X 0； P外分线段P P2时，X J8.定比分点坐标公式：x + Xxx = T21 + Xy + Xyy = +2y 1+ Xi） ，中点坐标公式x + xx = 22y + yy = i229. 三角形重心公式及推导（见课本例2）：% + x + x y + y + y、三角形重心公式：J 亨 亠，1 寸）10. 图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度（即按向量a平移），得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式:x- x + h y- y + kx - x、一 h y - yk平移向量a = PP= (h, k)OP -1，求3应用：1
4、.利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题 例 i 已知向量OP,OP,OP 满足条件OP + OP + OP - 0, |OP| - OP ：123123Id2证：APJPP3是正三角形解：令O为坐标原点，可设P(COS0 ,sin0 ),P(COS0 ,1 1 1 2 2(cos0 ,sin0 )+(cos0 ,sin0由 OP + OP = -OP，即12311fcos0 + cos0 = - cos0 J123I sin0 + sin0 = - sin 0V 123两式平方和为1 + 2cos0 -0 )+1 = 1，1 2cos -0 )=1 2sin0 丿,P
5、 Vcos023)=C COS0 -2330n-2 由此可知01-0 2的最小正角为1200，即OP与OP的夹角为120。，同理可得OP与OP的夹角为1 213120。，op与OP的夹角为120。，这说明P,P ,P三点均匀分部在 23123一个单位圆上，所以APPP为等腰三角形.12 3例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设A（2a,0）B（0,2a ），则D（a,0）, C（0, a ），从而可求:AC = (- 2a, a) BD =(a,-2a),cos0 = AC BD -(- 纽 a心2)ACBD
6、5a 、：5a-4a 25a 24一一 /. 0 = arccos52.利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题（AB 2 + AC 2）-BCT例3已知AABC，AD为中线，求证AD2 - 2证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系，设A（a,b）C（c,0）,(c D -,0，则 ADV2丿+(0 - b-+ b 2,421 (2 (xx + y y )21_1 2 2 12 12证明：令 a = (x , y ), b = (x , y )1 1 2 2 (1 )当a = 0或b = 0时，a b = xx + yy = 0，结论显然成立;1 2 1 2- (2)当a丰0且b丰0时，令9为a,b的夹角，则0 w 0,兀 a - b = x x + y y =I a II b I cos0 乂I cos0 I 11 2 1 2.a - b ll a lib I (当且仅当a II b时等号成立)xx + y y (xx + y y )2.(当且仅当f 二古时等号成立) 1 1 2 2 1 2 1 2 y y12例 10 求 y = sin2 x + 2sinxcosx + 3cos2 x 的最值a b a b = J2解：原函数可变为y =
