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1、2019届高考数学复习资料第3讲函数的奇偶性与周期性一、填空题1若函数f(x)m为奇函数,则实数m_.解析由题意,得f(0)0,所以m0,即m1.答案12设函数f(x)是奇函数且周期为3,f(1)1,则f(2 011)_解析因为f(x)f(x),f(x3)f(x),f(1)1,所以f(1)1,f(2 011)f(36701)f(1)1.答案13已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)2x3,则f(2)_.解析 f(x)为R上的奇函数,f(2)f(2)又当x2时,f(2)2231,f(2)1.答案 14设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(1x)f(1x)0恒成
2、立如果实数m、n满足不等式组那么m2n2的取值范围是_解析 考查函数单调性及对称性,举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法如:f(x)x1,f(x1)f(1x)0,所以f(x)的对称中心为(1,0),不等式组由图可知OA最小,OA,OB最大,OB7,m2n2(13,49)答案 (13,49)5设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13,若f(1)2,则f(99)_.解析 由f(x)f(x2)13得f(x2),f(x4)f(x2)2f(x)f(x)是以4为周期的周期函数f(99)f(2541)f(1).答案 6设奇函数f(x)的定义域为R,最小正周期T3,若f(1)1,f(2),则a的
3、取值范围是_答案 7已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x),且函数yf为奇函数,给出以下四个命题:函数f(x)是周期函数;函数f(x)的图象关于点对称;函数f(x)为R上的偶函数;函数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_答案 8若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x),且在1,0上是增函数,给出下列关于f(x)的判断:f(x)是周期函数;f(x)关于直线x1对称;f(x)在0,1上是增函数;f(x)在1,2上是减函数;f(2)f(0)其中正确的序号是_解析f(x1)f(x),f(x)f(x1)f(x11)f(x2),f(x)是周期为2的函数,正确又f(x2)f(x)
4、f(x),f(x)f(2x),yf(x)的图象关于x1对称,正确又f(x)为偶函数且在1,0上是增函数,f(x)在0,1上是减函数又对称轴为x1,f(x)在1,2上为增函数,f(2)f(0),故错误,正确答案9已知函数f(x)x2cos x,x,则满足f(x0)f的x0的取值范围为_解析f(x)2xsin x,在区间内f(x)0,f(x)在区间内单调递增,此时由f(x0)f得x0,易证f(x)是偶函数,x0也符合题意答案10已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x),且函数yf为奇函数,给出以下四个命题:函数f(x)是周期函数;函数f(x)的图象关于点对称;函数f(x)为R上的偶函数;函
5、数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析由ff(x),得f(x3)ff(x),所以正确由yf为奇函数,得f(x)图象关于点对称,所以不正确由ff,得f(x)f,又ff(x),所以ff,所以f(x)是偶函数,正确由正确知不正确答案二、解答题11设f(x)exaex(aR,xR)(1)讨论函数g(x)xf(x)的奇偶性;(2)若g(x)是偶函数,解不等式f(x22)f(x)解(1)a1时,f(x)exex是偶函数,所以g(x)xf(x)是奇函数;a1时,f(x)exex是奇函数,所以g(x)xf(x)是偶函数a1,由f(x)既不是奇函数又不是偶函数,得g(x)xf
6、(x)是非奇非偶函数(2)当g(x)是偶函数时,a1,f(x)exex是R上的单调递增函数,于是由f(x22)f(x)得x22x,即x2x20,解得1x2.12.已知函数f(x)x2(x0,aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间2,)上是增函数,求实数a的取值范围解(1)当a0时,f(x)x2(x0)为偶函数;当a0时,f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)设x2x12,则f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a,由x2x12,得x1x2(x1x2)16,x1x20.要使f(x)在区间2,)上是增函数,只需f(x1)f(x2)0恒
7、成立,则a16.13定义在R上的增函数yf(x)对任意x,yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0);(2)求证:f(x)为奇函数;(3)若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立,求实数k的取值范围解 (1)令xy0,得f(00)f(0)f(0),即f(0)0.(2)证明:令yx,得f(xx)f(x)f(x),又f(0)0,则有0f(x)f(x),即f(x)f(x)对任意xR成立,所以f(x)是奇函数(3)因为f(x)在R上是增函数,又由(2)知f(x)是奇函数所以f(k3x)f(3x9x2)f(3x9x2),所以k3x0对任意xR成立令t3x0,问题等价于t2(1k)t20对
8、任意t0恒成立令f(t)t2(1k)t2,其对称轴为t,当0,即k0,符合题意;当0,即k1时,f(t)0对任意t0恒成立解得1k12.综上所述,当k12时,f(k3x)f(3x9x2)0时,f(x)x2x1,求f(x)的解析式;(2)设a0,f(x)是R上的偶函数,求实数a的值;(3)已知奇函数f(x)的定义域为2,2,且在区间2,0内递减,求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解 (1)f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)0,当x0,由已知f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)f(x)x2x1.f(x)(2)f(x)是R上的偶函数,f(x)f(x)在R上恒成立即,(a21)(e2x1)0,对任意的x恒成立,解得a1.(3)f(x)的定义域为2,2,有解得1m.又f(x)为奇函数,且在2,0上递减,在2,2上递减,f(1m)m21,即2m1.综合,可知1m1.高考数学复习精品高考数学复习精品