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1、专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360；（2）四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于360.3平行四边形的性质：性质判定四边形ABCD是平行四边形 4、平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证: OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试
2、通过添加辅助线构造平行四边形.（2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 求证: ED+FG=AC.（3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例4、如图，在
3、平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点， 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果， ，那么的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形为平行四边形 求证：（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：二、 课堂练习：1、如图，是平行四边形的边的中点，与相交
4、于点，若平行四边形的面积为，则图中面积为的三角形有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 _四边形3、 如图，AD，BC垂直相交于点O，ABCD，BC=8，AD=6， 则AB+CD的长=_。4、已知等边三角形ABC的边长为a， P是ABC内一点，PDAB，PEBC，PF AC，点D、E、F分别在 BC、AC、AB上，猜想：PDPE+PF=_，并证明你的猜想5、平行四边形ABCD中，分别是四条边上的点，且, 试说明：与相互平分6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分 别交AB、CD于G、H 试
5、说明：GFEHB7、如图，已知，B是AD的中点，E是AB的中点 试说明：DE8、如图，E是梯形ABCD腰DC的中点试说明：9、已知六边形ABCDEF的6个内角均为120，CD2cm，BC8cm，AB8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长10、已知是等腰三角形，AB=AC，D是BC边上的任一点，且 ，垂足分别为E、F、H， 求 证：11、 已知：在中，；在中，；连结，取的中点， 连结和（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图，求证：且；（2）如果将图8-中的绕点逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图图-答案：例4、 连结
6、证明：连结,设交于点O 四边形为平行四边形 即 四边形为平行四边形 例5、解：将线段沿方向平移，使得,则有四边形为平行四边形, 在中, , ，即 解得 故选A例6、证明：过分别作于点，的延长线于点F 则四边形为平行四边形 且, 例7、证明：延长交的延长线于点四边形为正方形 且, 又, ,则二、 课堂练习1、 C 2、平行 3、10 4、5、 分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，根据 平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分。6、 分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四
7、边形具有对边平行的性质可得GFEH7、 分析：延长CE至F，使EFCE，连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形 的性质证明DBCFBC即可。8、 分析：过点E作MNAB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形， ABE与四边形ABNM等底等高，所以SABES平行四边形ABNM，接下来说明 S梯形ABCDS平行四边形ABNM即可。9、10、 证明：过D点作DGCH于G 又DEAB于E，CHAB于H 四边形DGHE为矩形 DEGH EHDG BGDC 又ABAC BACB GDCACB 又DGCDFC90 CDDC（公共边） CDGDCF（AAS） DF
8、CG 又CHCGGH CHDFDG（等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平
9、行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 证明：连结,设交于点O四边形为平行四边形 即四边形为平行四边形 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，那么的取值范围是（ ）A B C D解：将线段沿方向平移，使得,则有四边形为平行四边形,在中, ,，即 解得 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
10、例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形 求证： 证明：过分别作于点，的延长线于点F则四边形为平行四边形 且, 第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：证明：延长交的延长线于点四边形为正方形 且, 又, ,则第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长与的延长线相交于，则有,第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,交于，求解：连结交于点,连结四边形为平行四边形 且 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
