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1、高中数学第一章计数原理单元测试北师大版选修2-3高中数学 第一章 计数原理单元测试 北师大版选修2-3 (时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(山东济宁高三考试，理6)从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A36种 B30种C42种 D60种2五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A60种 B48种C36种 D24种3为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个
2、不同的代表队，则不同获奖情况种数为()AC BCCCCCCCCCC DCCCCCA4某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一个参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有()A56种 B49种C42种 D14种5(2010湖南高考，理7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D156(2009陕西高考，理6)若(12x)2 009a0a1xa2 009x2 009(xR)，则
3、的值为()A2 B0 C1 D27在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中，含x4的项的系数是()A15 B85 C120 D2748某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A15 B45 C60 D759组合数C(nr1，n，rZ)恒等于()A.C B(n1)(r1)CCnr C D.C10(2009安徽高考，理10)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A. B.C. D.二、填空
4、题(本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在题中的横线上)11有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，其中恰好有一个红球和一个黑球编号相同的取法种数为_12(2009湖南高考，理10)在(1x)3(1)3(1)3的展开式中，x的系数为_(用数字作答)13在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个14安排3名支教老师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有_种(用数字作答)15将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第
5、3行，第n次全行的数都为1的是第_行；第61行中1的个数是_三、解答题(本大题共4小题，共40分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出多少张？17(10分)有6本不同的书：(1)全部借给5人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？(2)全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？18(10分)求()10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项19(11分)规定C(其中xR，
6、m是正整数，且C1，这是组合数C(n，m是正整数，且mn)的一种推广)(1)求C的值(2)组合数的两个性质：CC；CCC.是否都能推广到C(xR，m是正整数)的情形？若能推广，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由(3)已知组合数C是正整数，证明当xZ，m是正整数时，CZ.参考答案1解析：方法一(直接法)：NCCCC30636(种)方法二(间接法)：NCC562036(种)答案：A2解析：甲排第一位时，乙、丙不排第二位，有CA种排法；甲排第二位时，乙、丙只能排四、五位，有AA种排法；甲排第三位时，乙、丙只能排首尾，有AA种排法；甲排第四位，乙、丙只能排第一、二位，有AA种排法；甲排第五
7、位时，乙、丙只能排第一、二、三位，有CA种排法，共有124441236种排法答案：C3解析：先从6个代表队中任选3个队有C种选法；再从中任选一个(两人都获奖)有C种选法，再从余下的两个代表队中每队选1人有CC种，所以共有CCCC种选法答案：C4解析：(1)男生甲、乙有一人参加，女生丙参加，再从另外7人中任选2人，共有CC42种；(2)男生甲、乙都参加，女生丙也参加，再从另7人中任选1人，有C7种综合(1)(2)得不同的选人方式有CCC49种答案：B5解析：分类讨论：分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N11.答案：B6解析：赋值法，令x0，则a01，令x，则0a0，
8、1.答案：C7解析：根据乘法原理，含x4的项是4个因式中取x，余下一个因式取常数项形成的，所以含x4的项的系数是(12345)，即15.答案：A8解析：从4个重点项目和6个一般项目各选2个项目共有CC90种不同选法，重点项目A和一般项目B都不被选中的不同选法有CC30种所以重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的选法有903060种答案：C9解析：A中，CC.B中，(n1)(r1)C(n1)(r1)C.C中，nr Cnrr2C.D中，CC.答案：D10解析：如下图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有CC1515225种不同取法，其中所得的两条直线相互
9、平行但不重合的有ACDB，ADCB，AEBF，AFBE，CEFD，CFED，共12对，所以所求概率为P.答案：D11解析：任取一个红球，有C种取法，接着取与红球编号相同的一个黑球；再在剩下的8个球中取编号互不相同的两球，种数为CCCC.所以满足题意的取法种数为C(CCCC)120.答案：12012解析：由题意得x的系数为CCC3317.答案：713解析：个位数有A种取法；千位数有A种取法；中间两位有A种排法，故由乘法原理得AAA192.答案：19214解析：ACA60.答案：6015解析：用不完全归纳法猜想得出答案：2n13216分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他
10、们的参与情况入手进行分类讨论解：按“多面手”的参与情况分成三类：第一类：多面手不参加，这时有CC种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英或日文翻译两种可能，因此有CCCCCC种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有CCCCCCCCCC种综上分析，共可开出CCCCCCCCCCCCCCCCCC185种不同的分配名单17分析：(1)利用“捆绑法”求解；(2)先分堆再让三人取书解：(1)将6本书中某两本书合在一起组成5份，借给5个人，共有CA1 800种借法(2)将6本书分成三份有3种分法第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二
11、种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3个人，有(CC)A540种借法18分析：在所有项的系数绝对值中，最大的一个必须满足“比它相邻的项都不小”这一必要条件，据此排列不等式组而在讨论系数最大的项时，只需讨论奇数项即可解：展开式的通项是Tr1C(1)r2rx.系数的绝对值是C2r，若它最大，则r ，rN，r3.系数绝对值最大的项是第4项，即C23x15x.系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0,2,4,6,8时，各项系数分别为C1，C22，C24，C26，C28.因此系数最大的项是第5项，即x.19解：(1)CC11 628.(2)性质不能推广，例如当x时，有定义，但无意义；性质能推广，它的推广形式是：CCC，xR，m是正整数，事实上，当m1时，有CCx1C，当m2时，CC(1)C.(3)当xm时，组合数CZ.当0xm时，C0Z.当x0时，xm10，C(1)m(1)mCZ.综上，当xZ，m是正整数时，CZ.7
