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1、莆田四中2012-2013学年高二上学期第二次月考理科数学(选修-1选修2-2)考试卷一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卷上) 1. 抛物线的准线方程是( ) A. B. C. D. 2. 一质点沿直线运动,如果由始点起经过秒后的位移为,那么速度为零的时刻是( )A.秒 B.秒末 C.秒末 D. 秒末和秒末3. 下列命题中,真命题是的( )AB C的充要条件是 D是的充分条件4如右图,一个简单空间几何体的三视图,其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )A B C D5.
2、 过点与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有( )条 A1B2C3D 46. 空间四边形OABC中,=,=,=,点M在OA上,且OM=2MA,N为线段BC的中点,则= ( ) A.-+ B. -+ C.+- D. +-7.椭圆的两个焦点分别为F1、F2,P为椭圆上的一点,已知PF1PF2,则PF1F2的面积为( )A.9 B.12C.10 D.88.已知抛物线的准线与双曲线交于,两点,点为抛物线的焦点,若为直角三角形,则双曲线的离心率为( ). . . .9.如图,函数的图像是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为 ( )A BC D10. 椭圆的焦距为,过点作圆的两条切线,
3、切点分别为.若椭圆的离心率的取值范围为,则的取值范围为()A B C D二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分)11. 已知(3,4,-8),(-3,x,y), 与共线,则x +y =_.12. 如右图长方体中,AA1=AB=4,AD=2,E、F、G分别是DD1、AB、CC1 的中点,则直线A1E,FG所夹的角的余弦值为 .13. 已知定点,点P为抛物线上一动点,F为抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为 .14. 已知函数,则 .15. 以下四个命题: q是p的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为;当无限趋近于0时,无限趋近于;设点
4、,点P满足,则点P的轨迹为椭圆;其中真命题为 (写出所以真命题的序号)。三、解答题(共6题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16. (本小题满分13分)已知函数,(1)求在点处的切线方程;(2)求的单调区间.17(本小题满分13分)若双曲线与椭圆有相同的焦点,与双曲线:有相同渐近线.(1) 求的实轴长和渐近线方程;(2)求的方程.18.(本小题满分13分)如图16,在ABC中,ABC60,BAC90,AD是BC上的高,且BD=2,沿AD把ABD折起,使BDC90.(1)证明:平面ADB平面BDC;(2)求点D到平面ABC的距离19. (本小题满分13分)如图,某旅游区拟在公
5、路(南北向)旁开发一个抛物线形的人工湖,湖沿岸上每一点到公路的距离与到A处的距离相等,并在湖中建造一个三角形的游乐区,三个顶点都在湖沿岸上,直线通道MN经过A. 经测算,A在公路正东方向200m处,C在A的正西方向100m处。现以点C为坐标原点,以线段CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系。(1)求抛物线的方程;(2)试判断是否存在直线通道MN,使得三角形的游乐区的面积为?并作说明。20.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,是的中点(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)试问线段上是否存在点,使与平面成 角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由 21.(本小题满分14)已知椭圆的
6、左、右焦点分别为,短轴端点分别为,且四边形是边长为的正方形。(1)求椭圆的方程;(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点,动点满足,连结交椭圆于,证明为定值(为坐标原点);KS*5U.C#O%(3)在(2)的条件下,试问在x轴上是否存在异于点的定点,使以线段为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由莆田四中2012-2013学年高二上学期第二次月考理科数学考试答案卷一、选择题DDDCC, BACCA二、填空题 4 0 5 三、解答题16. 解:(1)为切线, 切线方程6分(2),7分,由,9分由, 11分的单调增区间:,减区间:13分解: 17(1) 中:实轴长,可得渐近线方程
7、; 5分(2)法一:依题意可设所求的双曲线的方程为 6分即7分又双曲线与椭圆有相同的焦点解得11分求的标准方程为13分法二:设: ,6分可得求得 11分求的标准方程为13分18. 解:(1)折起前AD是BC边上的高,当ABD折起后,ADDC,ADDB ,又DBDCD,AD平面BDC,AD平面ABD,平面ABD平面BDC. 6分(2)由(1)知,如图建立空间直角坐标系,由BD=2,则D(0,0,0), B(2,0,0),A(0,0, ),7分设平面的法向量为,由,有,取,有,得,又10分点D到平面的距离是13分19. 解: ()依题意,设所求的抛物线方程为,抛物线的焦点,所求的方程为. 4分()
8、解法1:设点M、N的坐标分别为,直线的方程为,5分 联立消去,得到, 7分,8分,=, 当时,=. 12分答: 存在两条MN的直线通道使面积是. 13分解法2: 设点M、N的坐标分别为.当直线的斜率不存在时,直线的方程为,; 5分当直线的斜率存在时,设直线的方程为,易知, 6分 联立消去,得到,7分, 8分,=,综合与可知,当 直线MN的斜率时,取到. 12分答: 存在两条MN的直线通道使面积是.13分20. 解:()证明:连结,交于点,连结.由 是直三棱柱,得 四边形为矩形,为的中点.又为中点,所以为中位线,所以 ,13分因为 平面,平面, 所以 平面. 4分()解:由是直三棱柱,且,故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 5分设,则.所以 , 设平面的法向量为,则有所以 取,得. 7分易知平面的法向量为. 8分由二面角是锐角,得 . 所以二面角的余弦值为.9分()解:假设存在满足条件的点,设.在线段上,由=且其中,即,., 以由(2)知与平面成角,所以. 即, 所以在线段上不存在点. 14分21. 解:()如图,由题知,4分() ,则可设5分 9分 ()设,由题知成立使得以为直径的圆恒过的交点 14分