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1、线段垂直平分线（一）教学实录课题：线段垂直平分线执教老师：李瑶丽教学过程（一）创设情境，引趣激思 （教师用多媒体演示）：如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：码头应建在线段AB的垂直平分线与在A、B一侧的河岸边的交点上. （由实际问题引出线段垂直平分线性质，使学生认识到实际生活中离不开数学.）师：你为什么要这样做呢？（让学生说明理由，使学生认识到运用数学解决问题时要有理有据，培养严谨的学习习惯.）生：七年级时我们学过“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”，在这个问题中要求码头到两个仓库A、B的距离相等，所以得用
2、此性质来解决.师：这位同学说的非常好，回想七年级我们是用折纸的方法得到的，同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线性质定理。 （教师演示线段垂直平分线的性质：定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 同时，教师板书课题： 线段的垂直平分线(一)） （二）合作交流，探究新知1.线段垂直平分线性质定理的证明师：现在就请同学们思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程，并在小组内交流. （学生画图，写出已知、求证.证明方法和写出证明过程对于学生来说不是很困难的.）已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且ACBC，P是M
3、N上的点求证：PAPB证明：MNAB，PCAPCB90.ACBC，PCPC，PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等)师：若直线MN上有一点Q，根据线段垂直平分线性质定理，说出结论.生：QAQB （教师在图形中找出几个不同位置的点P，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？生： AB，CPACPB. （挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：多媒体演示想一想.你能写
4、出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?生：这个命题不是“如果那么”的形式，要写出它的逆命题，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出师：谁来分析原命题的条件和结论呢?注意表述时要流畅，完整生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，请同学们自行
5、完成生A：已知：线段AB，点P是平面内一点且PAPB求证：P点在AB的垂直平分线上证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为CPAPB，PCPC，RtPACRtPBC(HL定理)ACBC，即P点在AB的垂直平分线上生B：我没有证明RtPAC和RtPBC全等，我是利用“等 腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的性质证明的.因为AP=BP，所以PBA是等腰三角形，又因为PC垂直AB，PC是PBA底边上的高，所以PC是AB边上的中线，所以AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上师：比较这两名同学的证法，哪名同学的证明比较简单？生（齐答）：第二名同学的证明简单.师：他应用等腰三角
6、形的“三线合一”性质省了一个全等的步骤，我们以后在做证明或计算时，要寻求简单的方法.生C：取AB的中点C，过PC作直线APBP，AC=BC， PCABP点在AB的垂直平分线上生D：过P点作APB的角平分线.APBP，1=2，AC=BC ，PCABP点在线段AB的垂直平分线上 （学生用多种方法来证明命题结论的正确性，不同辅肋线的引用，可以培养学生发散思维能力.只是有的学生还是用全等的方法来证较繁，应用等腰三角形的性质步骤就简化多了，提醒学生在作证明、计算时应多加注意.）师：从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理师：我们已经完成了线
7、段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，请同学们思考一下我们可以用这两个定理来证明什么？生：用这两个定理可以证明线段相等、两条直线互相垂直.3.线段垂直平分线的作法师：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?做一做用尺规作线段的垂直平分线师：下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据师生共作：已知：线段AB(如图)求作：线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为 半径作弧，两弧相交于点C和D（2）作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线师：根据上面作
8、法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线?请与同伴进行交流 （尺规作图的步骤是：已知、求作、作法、证明四个步骤，作图后要说明作图的理由，不仅是培养学生的严谨的学习态度，而且让学生明白几何每一步都要有理有据.学生说明理由也是为了灵活应用定理.）生：从作法的第一步可知 ACBC，ADBDC、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)师：说的非常好，看来同学们能灵活运用这节课所学的两个定理了.师：如何用尺规作线段AB的中点？生：还是作线段AB的垂直平分线，它与线段AB的交点就是线段AB的中点.师：如何将线段AB四等分？同学们自己独立完
9、成.（三）学以致用（多媒体演示）1如图，已知AB是线段CD的垂直平分线， E是AB上的一点，如果EC7 cm，那么ED cm，如果ECD60，那么EDC .（学生口述答案，并说出推理过程.让学生能从图形中应用线段垂直平分线性质定理容易找出相等的线段、角）2如图，在ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E. （1）若BE=3，则AE=？（2）若AEC=70，则B=？ （3）若BC=5，AEC的周长为7，则AC=？（以下是对于（3）题的分析）生：我从AEC的周长为7入手，因为AEC的周长等于AE+EC+AC，又因为AE=BE，所以将AE替换为BE，而从图形中看出BE+EC=BC，因此AEC的周长等
10、于AC+BC，从而求出AC的长.师：说的非常好. （从2题的学习中，我们可以看到用线段的垂直平分线的性质来证明线段相等和角等.）变式1如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC边于点E. (1)若BE=3，则AE=？(2)若BEC=70，则A=？(3)若BC=5，BEC的周长为12，则AC=？师：两个图形比较一下，你发现了什么？生：无论与AC相交还是与BC相交，与第三边形成的三角形周长都等于AC+BC.师：说的很好，这位同学善于总结规律，我们大家要向他学习. （AB边上的垂直平分线与AC相交，图形变换，学生能应用定理找出AE=BE，进而解决此题.）变式2如图，在RtABC中，AB的垂直平分线交B
11、C边于点E，若BE=2，B =15，求AC的长.变式3如图，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，若BE=2，B =22.5，求AC的长. （变式2、3是与直角三角形有关的知识联用，使学生学会综合应用知识.）变式4 如图，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =120,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求EAN的度数；(2)判断AEN的形状；(3)求AEN的周长.变式5如图，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求EAN的度数；(2)判断AEN的形状
12、；(3)求AEN的周长.变式6如图，在ABC中， BC=12,BAC =100,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求EAN的度数；(2)求AEN的周长.（学生练习，小组合作交流.）师：变式4、5、6是三个由特殊到一般的图形，从顶角是120的等腰三角形到一般的等腰三角形到一般三角形，AEN的形状及EAN的度数也不断的变化，但AEN的周长不变，因此得出结论：AEN的周长=BC长，AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与ABC的形状有关不与BAC的度数有关.EAN的度数与哪个角的度数有关呢？生1：与B的度数和C的度数有关，EAN=180-2
13、B-2C.生2： 与BAC的度数有关，因为EAN=180-2B-2C=180-2（B+C）=180-2（180-BAC）=2BAC -180，所以与BAC的度数有关.师：哪位同学分析的透彻？生齐：第二名学生.师：说得很好，第一名学生没有进一步去分析，第二名学生发析的很透彻. （图形的变式、题条件和结论的变换是几何学习的主要组成部分，但是有一句话说：万变不离其中.我们在做这样的变换时要注意总结一下，哪些是变化的，哪些是不变的，变化的量是哪个量随哪个量变化而变化的，找出相应的规律，这样才能将这种图形、这种类型的题目学透、学通、学精.）（四）课堂小结，畅谈收获生1：本节课我们先推理证明了线段的垂直平
14、分线的性质定理和判定定理，并学会了用尺规作线段的垂直平分线生2：我们可以用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理证明线段相等.生3：从本节课练习题及变式题中，我们总结了一些等量关系.师：看来同学们基本上掌握了这节课所学的知识. （五）课后作业（投影仪）教学反思成功之处：1.对于线段垂直平分线的判定定理是线段垂直平分线性质定理的逆定理，判定定理的叙述是本节课的难点，为了突破这个难点，先分析定理的条件和结论，然后改写成如果那么的形式，最后将条件和结论互换，一步步按逆命题改写方式完成.师生互动将逆定理完成，突破了本节课的难点.2.线段垂直平分线性质定理的应用是本节课重点内容之一，为了让学生能灵活运用定理，先要挖掘图形中的等量关系，然后在学生比较熟悉图形的基础上，不断变换.例如，由2题一条垂直平分线与三角形一边相交，变为与另一边相交，由一条垂直平分线变为两边的垂直平分
