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1、习题88-1沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，而，8-2已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿轴负向传播，波动式又如何?解：（1）设平面波的波动式为，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：；（2）若波沿轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：。8-3一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（2）点的振动表达式
2、（点位于点右方处）。解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以点为原点平面简谐波的表达式为：，则点的振动式：题设点的振动式比较，有：，该平面简谐波的表达式为：（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程：8-4已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为。（1）写出点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出点的振动表达式；（4）写出点离点的距离。解：由图可知：，而，则：，波动方程为：点的振动方程可写成：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（舍去）那么：（1）点的振动表达式：；（2）波动方程为：；（3）设点的振动表达式为：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（或）A点的振
3、动表达式：，或；（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：，所以： 。8-5一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。解：这是一个振动图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：。（1）当时，考虑到：，有：，当时，考虑到：，有：，原点的振动表达式：；（2）沿轴负方向传播，设波动表达式：而，；（3）位相差： 。8-6一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为，频率为，波速为。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少
4、？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为：，由 有：；（2）由， 。8-7一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率。若该媒质的密度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积的总能量。解：（1）由：，有：；（2）1分钟为60秒，通过面积的总能量为： 。8-8与为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为，质点的振动比超前，设的振动方程为，且媒质无吸收，（1）写出与之间的合成波动方程；（2）分别写出与左、右侧的合成波动方程。解：（1）如图，以为原点，有振动方程：，则波源在右侧产生的行波方程为：，由于质点的振动比超前，的振动方程为，设以为原点，波源
5、在其左侧产生的行波方程为：，由于波源的坐标为，代入可得振动方程：，与比较，有：。可见，在与之间的任一点处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：，为驻波；（2）波源在左侧产生的行波方程为：，与叠加，有：；（3）设波源在其右侧产生的行波方程为：，代入波源的坐标为，可得振动方程：，与比较，有：。与叠加，有：。表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。8-9设与为两个相干波源，相距波长，比的位相超前。若两波在在、连线方向上的强度相同且不随距离变化，问、连线上在外侧各点的合成波的强度如何？又在外侧各点的强度如何？解：（1）如图，、连线上在外侧，两波反相，合成波强度为0；（2）如图，、连
6、线上在外侧，两波同相，合成波的振幅为，合成波的强度为： 。8-10测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离，可求得管内气体中的声速。试证：。证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离，所以：，那么：，所以波速为： 。8-11图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。为声源，为声音探测器，如耳或话筒。路径的长度可以变化，但路径是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在的第
7、一位置时为极小值100单位，而渐增至距第一位置为的第二位置时，有极大值单位。求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，相邻波节与波腹的间距：，可得：。（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：（2），依题意有： ，那么 。8-12绳索上的波以波速传播，若绳的两端固定，相距，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为，时绳上各点均经过平衡位置。试写出：（1）驻波的表示式；（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点
8、外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，则：，波长：，又波速，又已知驻波振幅为， 时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为，关于时间部分的余弦函数应为，所以驻波方程为： ；（2）由合成波的形式为：，可推出合成该驻波的两列波的波动方程为： 。8-13弦线上的驻波波动方程为：，设弦线的质量线密度为。（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；（2）分别计算半个波段内的振动势能、动能和总能量。解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是的地方。即：，可得： （k=0，）（2）振动势能写成：半个波段内的振动势能：而：半个波段内的振动动能：所以动能和势能之和为： 。8-14试计算
9、：一波源振动的频率为，以速度向墙壁接近（如图所示），观察者在点听得拍音的频率为，求波源移动的速度，设声速为。解：根据观察者不动，波源运动，即：，观察者认为接受到的波数变了：，其中，分别代入，可得： 。8-15光在水中的速率为 (约等于真空中光速的)，在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫(Cherenkov)辐射，其波前形成顶角的马赫锥，求电子的速率解：由，有 ： 。思考题88-1.下图（a）表示沿轴正向传播的平面简谐波在时刻的波形图，则图（b）表示的是：（A）质点的振动曲线； （B）质点的振动曲线；（C）质点的振动曲线； （D）质点的振动曲线。答：图（b）在t=0时刻的相位为，所
10、以对应的是质点n的振动曲线，选择B。8-2从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。8-3设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下，为常量，那么，通过距离为的柱面的平均能流为：，。8-4入射波波形如图所示，若固定点处将被全部反射。（1）试画出该时刻反射波的波形；（2）试画该时刻驻波的波形；（3）画出经很短时间间隔（周期）时的驻波波形。提示：有半波损失。具体图略.
