《中考数学培优专题讲义第8讲最值问题之垂线段最短》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学培优专题讲义第8讲最值问题之垂线段最短（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8讲 最值问题之垂线段最短模型讲解如图，直线l外一点P与直线上的点的所有连线段中，PB线段长度最短【例题讲解】例题1、如图，在RtABC中，BAC90，AB5，AC12，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是解：连接AP，PEAB，PFAC，AEPAFP90，BAC90，四边形AEPF是矩形，APEF，BAC90，M为EF中点，AMEFAP，在RtABC中，BAC90，AB3，AC4，BC5，当APBC时，AP值最小，此时SBAC345AP，AP，即AP的范围是AP，2AM，AM的范围是AM，APAC，AP4，AM2，AM2例题2、已知点D与点A(8
2、，0)，B(0，6)，C(a，a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为解：有两种情况：CD是平行四边形的一条边，那么有ABCD10CD是平行四边形的一条对角线，过C作CMAO于M，过D作DFAO于F，交AC于Q，过B作BNDF于N，则BNDDFACMAQFA90，CAMFQA90，BDNDBN90，四边形ACBD是平行四边形，BDAC，CD，BDAC，BDFFQA，DBNCAM，在DBN和CAM中，DBNCAM(AAS)，DNCMa，BNAM8a，D(8a，6a)，由勾股定理得：CD2(8aa)2(6aa)28a28a1008(a)298，当a时，CD有最小值，是，10，CD的最小值是
3、7例题3、如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是解：如图，AB10，AC8，BC6，AB2AC2BC2，ACB90，PQ是F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FDABFCFDPQ，CFFDCD，当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQCD有最小值CDBCACAB4.8【巩固练习】1、已知在ABC中，AC3，BC4，AB5，点P是AB上(不与A、B重合)，过P作PEAC，PFBC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点，则CM的最小值为2、如图，线
4、段AB的长为10，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角ACD和BCE，那么DE长的最小值是3、如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x1和x4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为4、在平面直角坐标系中，己知平行四边形ABCD的点A(0，2)、点B(3m，4m1)(m1)，点C(6，2)，则对角线BD的最小值是5、如图，等边ABC的边长是2cm，将边AC沿射线BC的方向平移2cm，得到线段DE，连接AD、CE(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)将ABC绕点C旋转，当CA与DE交于一点M，CB与AD交于一点N时，点M、N和点D构成DMN，试探
5、究DMN的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明理由参考答案1.解：如图，连接CPAC3，BC4，AB5ACB90，PEAC，PFBC，C90，四边形CFPE是矩形，EFCP，由垂线段最短可得CPAB时，线段EF的值最小，则CM最小，此时，SABCBCACABCP，即435CP，解得CP2.4EF2.4，M为EF中点，CM1.22.解：设ACx，BC10x，ABC，BCD均为等腰直角三角形，CDx，CD(10x)，ACD45，BCD45，DCE90，DE2CD2CE2x2(10x)2x210x50(x5)225，当x取5时，DE取最小值，最小值为：5，3.解：过点B作B
6、D直线x4，交直线x4于点D，过点B作BEx轴，交x轴于点E，直线x1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x4与AB交于点N，如图：四边形OABC是平行四边形，OABBCO，OCAB，OABC，直线x1与直线x4均垂直于x轴，AMCN，四边形ANCM是平行四边形，MANNCM，OAFBCD，OFABDC90，FOADBC，在OAF和BCD中，OAFBCDBDOF1，OE415，OB由于OE的长不变，所以当BE最小时(即B点在x轴上)，OB取得最小值，最小值为OBOE54.解：如图，点B(3m，4m1)，令，yx1，B在直线yx1上，当BD直线yx1时，BD最小，平行四边形对角线交于一点，且AC
7、的中点一定在x轴上，F是AC的中点，A(0，2)，点C(6，2)，F(3，0)设直线BF的解析式为yxb，则3b0，解得b，则直线BF的解析式为yx，4m13m，解得m，B(，)，BF3，BD2BF6，则对角线BD的最小值是65.证明：(1)由平移可得：ADCE，ADCE，四边形ACED是平行四边形，又AD2cmAC，ACED是菱形；(2)连接CD，ACDBCA60即ACNNCDNCDDCA60，ACNDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM(ASA)，ANDM，同理，CNCM，NCDDCM60，CMN是等边三角形，MNCNCM，则ANDNAD2DMN的周长即为DNDMMNADCN，当CBAD时，(CN)最小，即DMN的周长的最小值是2
