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1、育点教育 中小学个性化辅导专家 诚心 爱心 热心 精心 耐心考纲导读不等式1理解不等式的性质及其证明2掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式4掌握简单不等式的解法 5理解不等式| a | b| | ab | a | b |知识网络实数的性质不等式的性质均值不等式不等式的证明解不等式不等式的应用比较法综合法分析法反证法换元法放缩法判别式法一元一次不等式(组)一元二次不等式分式、高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论方程根的分布最值问题实际应用问题取值范围问题高考导航不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，
2、考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用高考试题中有以下几个明显的特点：1不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题 2选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关 3不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视基础过关第1课时 不等式的概念和性质1、实数的大小比较法则：设a，bR，则ab ；ab ；ab 定理2（同向传递性） ab，bc 定理3 abac bc 推论 ab，cd 定理4 a
3、b，c0 ab，cb0，cd0 推论2 ab0 (nN且n1) 定理5 ab0 (nN且n1)典型例题例1. 设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0，x1比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) (2)aabbabba变式训练1：不等式log2x+3x21的解集是_.答案：x|x3且x1,x0。解析：或。 例2. 设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0，x1比较f(x)与g(x)的大小.解：当0x1或x时，f(x)g(x)；当1x时，f(x)g(x)； 当x时，f(x)g(x).变式训练2：若不等式(1)na2对于任意正整
4、数n恒成立，则实数a的取值范围是 .例3. 函数ax2bx满足：12，24，求的取值范围解：由f (x)ax2bx得 f (1)ab，f (1)ab，f (2)4a2b af (1)f(1)，bf (1)f(1) 则f(2)2f (1)f (1)f (1)f (1)3f (1)f (1)由条件1f(1)2，2f (1)4可得3123f(1)f(1)324得f (2)的取值范围是5f (2)10.变式训练3：若13，42，则|的取值范围是 .解： (3，3)例4. 已知函数f (x)x2axb，当p、q满足pq1时，试证明：pf (x)qf (y)f (pxqy)对于任意实数x、y都成立的充要条
5、件是op1.证明：pf (x)qf (y)f (pxqy)pq(xy)2p(1p)(xy)2充分性：当0p1时，0从而必要性：当时，则有0，又0，从而0，即0p1综上所述，原命题成立变式训练4：已知abc，abc0，方程ax2bxc0的两个实数根为x1、x2(1)证明：1；(2)若xx1x2x1，求xx1x2x；(3)求| xx|解：(1)abc，abc0，3aabc，abab，a0，1 (2)（方法1）abc0 ax2bxc0有一根为1，不妨设x11，则由可得而，x21， (方法2)由，(3)由(2)知， ， 归纳小结1不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练
6、地掌握，要弄清每一性质的条件和结论注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系2使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号3关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“AB(或BA)”基础过关第2课时 算术平均数与几何平均数1a0，b0时，称 为a，b的算术平均数；称 为a，b的几何平均数2定理1 如果a、bR，那么a2b2 2ab（当且仅当 时 取“”号）3定理2 如果a、b，那么 （当且仅当ab时取“”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数4已知
7、x、y，xyP，xyS. 有下列命题：(1) 如果S是定值，那么当且仅当xy时，xy有最小值 (2) 如果P是定值，那么当且仅当xy时，xy有最大值 典型例题例1设a、bR，试比较， ，的大小 解：a、bR+，2即，当且仅当ab时等号成立又 当且仅当ab时等号成立 而于是(当且仅当ab时取“”号)说明：题中的、分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明变式训练1：（1）设，已知命题；命题，则是成立的 （ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：B.解析： 是等号成立的条件.（2）若为ABC的三条
8、边，且，则（ ）A B C D解：D解析：，又。（3）设x 0, y 0, ， a 与b的大小关系（ ） Aa b Ba 0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .解： 解析:由盐的浓度变大得例2. 已知a，b，x，yR+（a，b为常数），求xy的最小值.解： ab2变式训练2：已知a，b，x，yR+（a，b为常数），ab10， ，若 xy的最小值为18，求a，b的值解：或例3. 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2解：证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a
9、3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2变式训练3：比较下列两个数的大小：（1） （2）；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）,（2）（3）一般结论：若成立证明 欲证成立只需证也就是 （） 从而（*）成立，故 例4. 甲、乙两地相距S（千米），汽车
10、从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为yabv2s(bv)，故所求函数及其定义域为ys(bv)v(0,c)(2) s、a、b、vR+，故s(bv)2s 当且仅当bv时取等号，此时v若c即v时，全程运输成本最小若c，则当v(0，c)时，ys(bv)s(bc)(
11、cv)(abcv)cv0，且abc，故有abcvabc20 s(bv)s(bc)，且仅当vc时取等号，即vc时全程运输成本最小小结归纳1在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件2在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”变量为正数，“二定”和或积为定值，“三相等”等号应能取到，简记为“一正二定三相等”第3课时 不等式证明（一）基础过关1比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式(1)作差比较法，它的依据是： 它的基本步骤：作差变形判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等(2) 作商比较法，它的依据是：若0，0，则它的基本步骤是：作商变形判断商与1的大小它在证明幂、指数不等式中经常用到2综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论3分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立典型例题例1. 已知，求证：证法
