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1、关于二次曲线系的几点说明(2012 年 10 月 16 日)山东临沂沂州实验学校李守峰关于二次曲线系的一点探讨1.设f3,y) = 0表示二次曲线，g3,y) = 0表示一条直线。则曲线入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多与f 3, y) = 0同类。也就是说若f 3, y) = 0表示圆，则曲线入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示圆;若f 3, y) = 0表示椭圆，则曲线入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示椭圆;若f 3, y) = 0表示双曲线，则曲线入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示双曲线;若f 3, y) = 0表示抛物线
2、，则曲线入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示抛物线。上述结论告诉我们：过两交点的二次曲线并非包含所有的二次曲线，而是与“母曲线”相似的曲线2. 设f 3,y) = 0，g3,y) = 0均表示二次曲线。贝0曲线入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多与f 3, y) = 0或g 3, y) = 0同类的二次曲线。3. 两条相交直线或平行直线的积为退化的二次曲线(ax+ by- X m孜 世y ) p 0当它不含xy项时，可与对称轴平行于坐标轴的二次曲线同类。4. 对称轴平行于坐标轴的二次曲线，在直角坐标系中的方程不含xy项。5. 设C为二次曲线，AB为二次曲线的任意弦，
3、以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，若C在此 坐标系下的方程为g(x, y) = 0，则g(x,0) = 0不含x的一次项。6. 设由二次曲线f(x,y) = 0和直线以x +py = 1决定的关于x、y的二次齐次式为. 一 ,y、，y、B ,y、，y、 CAy2 +Bxy +Cx2 =。，则()+( ) = ， ( ) ()=x 1 x 2 A x 1 x 2 A特别的：当直线与二次曲线的两交点与原点的连线互相垂直时A + C = 0，也就是说单二次项的系数之和 等于0；当直线与二次曲线的两交点与原点的连线关于坐标轴对称时B = 0，也就是说齐次式中不含xy项。下面举例说明应用中应该注
4、意的问题x 2 y 21. (孙铭问题)如图，椭圆的方程为+ =1，a 2 b 2A为椭圆上一定点，弦AB AC ,求三角形ABC面积的最大值 孙铭思考方式：设AC: y = k(x %) + *，则 AB : y = - 1 (x - x ) + yk 001 , 则二次曲线AB乂Ac可表示为伙（x-*-y+*-后（xf-y+y-0(2)由曲线系的思想可知，过A、B、C三点的二次曲线可设为1x 2 y 2(3)俱(x-x)-y+y0-k(x-x)-y+y0顶 a+b T)=0让（3）表示圆，0（3）即为三角形的外接圆，且BC为直径。但事实上对任意的k，（3）式中含有xy项，也就是说（3）不能
5、表示圆，而我们知道三角形必有外接圆，（3）式有一定过A、B、C三点。这就产生了矛盾。这是为什么呢？上述是孙铭提出的问题，我一时也感觉纳闷！正是有了这个问题，我才对这类问题进行了一番思考，得出 上述结论。解疑：因为方程（1）并不是圆，（2）是二次曲线的对称形式（少xy项），因此有（1）（2）构成的曲线系 一定不能够成圆。也就是说经过三点ABC的二次曲线有两类，一是含xy项的，而是不含xy项的，而含xy项的必须有含xy项的二次曲线生成；而 不含xy项的二次曲线必须由不含xy项的二次曲线生成，这个问题就相当于相于向量线性表示只能生成与 基向量同类的向量，并非过一点的所有向量。如a（1，0）+b（0，
6、1）可表示过原点的所有二维向量，而过原点的向量还有三维的，他显然不包含这种 情况不。进一步说曲线（3）一定经过A、B、C三点，但经过ABC三点的二次曲线未必都是曲线（3）的形式。至此，问题的原因找到了，但是如何解决这个问题呢?为此，构造如下的方程即可解决过点B作直线AC关于x轴的对称直线，因为 AC: y = k（x-x0） + y0，则 AB: y = -k （x - x ） + y 00这时二次曲线 AB X AC 可表示为k（x-x0） - y + y0-k（x- x0） - y + y0 = 0即：（y y0）2 -k2（x x2 = 0此方程不含xy项，而且经过A、B、C、D四点，当
7、然经过A、B、C三点至此可设经过ABCD四点的另一类二次曲线为x2y2入(y y0)2 k 2(xx0)2 + 日(- + 膈-1) = 0让x2、y2项的系数相等，即得经过ABC三点的圆的方程。关于曲线系的两类应用一、若f （x, y） = 0表示齐次二次曲线，则f （x, y） = 0可表示为关于y或x的一元二次方程，即关于曲线 x y上的点于坐标原点连线的直线的斜率或斜率的倒数的一元二次方程1 .过二次曲线上任意一点A作互相垂直的两条弦AB、AC，则过另两端点的直线BC必过定点Q；且过 点A的二次曲线的切线垂直于AQ (或者AQ为二次曲线的法线)。证明：设椭圆(尤一心+ ( _ = c
8、一2直线 BC: a x +P y = 1(2)七、 一/ 一 (因为直线一定不能过A点)则由(1), (2)构造齐次式得：x m(以x +。y)2 + y - n(以x +。y)2 _ (以尤 + y)2 = a 2b 2整理得：Ay2 + Bxy + a2 + b2 2mb2 _ 2na2 + (a2n2 + b2m2 a2b2)(a 2 + p 2)x2 = 0因为 AB AC，所以a2 + b2 2mb?a _ 2na2 + (a2n2 + b2m2 a2b2)(a2 + 2)(3)(x m)2 (y n)2又因为椭圆 + 7-1 = 0经过(0, 0)a2b2m 2 n 2 .,所以
9、 + 1 = 0 即 a 2 n 2 + b 2 m 2 = a 2b 2(4)a 2 b 2带入(3)并整理得a2 + b2 2mb2a _ 2na2 = 02mb22na22mb22na2、即： 以+ = 1 所以直线恒过定点( , )a2 +b2a2 +b2a2 +b2 a2 +b22mb 22na 2、 zb 2 a 2a 2 b 2 、若曲线为标准方程，则定点为(m, n)，即：(xm, xn)a 2 + b 2a 2 + b 2a 2 + b 2a 2 + b 2x 2 y 2若转化为标准方程，一+二=1,其上任一定点P(m, n) , OA OB ,则直线AB必过定点a 2 b
10、2b 2 a 2 、Q (x m,x n)a 2 + b 2a 2+ b 2b 2 a 2x n nk = a 2 + b 2=竺pq a 2 b 2b 2 mx m m a2 + b2b2m利用求导易知曲线在P(m,n)的切线斜率为k =-，所以它们的斜率之积等于1,故AQ为法线!切线 a 2 n说明：对于抛物线3 n)2 = 2 p( x m)而言，设BC: a x +P y = 1,贝0有y n(a x + p y )2 = 2 p x(a x + p y) m(a x + p y )2，即：(1 np)y anx2 = 2px(ax + py) m(ax + py)2因为OA OB，所
11、以上式中的y方的系数与x方的系数之和为0所以(1 np )2 +a 2 n 2 = 2 pa 2 pma 2 2 pmp 2注意到：n2 = 2pm 所以2pa + 2np=1所以BC :2 px + 2ny = 1，所以直线BC恒过定点Q (2 p,2 n)上述结论转化为标准方程y2 = 2px，点A(m,n)，则定点Q(2p + m, n)PQ一一.一一 ，P 一 、 利用求导易知曲线在A(m, n)的切线斜率为k =一，所以它们的斜率之积等于1，故AQ为法线！切线n2. 经过有心二次曲线的中心作两条互相垂直的射线，则射线与曲线的两交点的直线到中心的距离为定值证明：设ax2 + by2 =
12、 1(a + b 0) (1)直线 AB: a x +p y = 1(2)由(1) (2)构成的齐次式为ax2 + by2 = (ax +py)2因为 OA OB，所以a2 + p2 = a + b11所以 OD = ,= ,为定值x：a 2 + p 2-J a + b3. 过平面内任一点作两条关于二次曲线的直线，使它们与对称轴对称成等角，则四交点构成的四边形的 对角线及另一组对边所在的直线也与对称轴成等角。证明：设 ax 2 + by 2 = 1 (a + b 0) 动直线 PAB : y = k(x m) + n贝ij PDC : y = k(x m) + n 又设 BC: y = sx
13、+ eAD : y = tx + f由曲线系理论可知，存在实常数u、v,使得 u (PAB x PDC) + v( AB x CD) = ax 2 + by 2 -1即：uk(x - m) + n - y x -k(x - m) + n - y + v(sx - y + e) x (tx - y + f) = ax2 + by2 -1整理得 u(n y )2 k 2( x m)2 + v( sx y + e) x (tx y + f) = ax 2 + by 2 1比较x2的系数得uk2 + vst = a（1）比较xy的系数得v（s +1） = 0（2）比较y2的系数得u + v = b（3
14、）若v = 0，有（3）知u = b带入（1）得：k2 =-a为常数，这与k为参数相矛盾 b故v。0这是（2）知：s +1 = 0，所以直线AD、BC关于坐标轴对称。4.（根据诸葛瑞玥提供的题改编）如图设有心二次曲线的对称轴为直线OA，M为直线OA上任一定 点，过M任作曲线的割线MCE交曲线于C、E两点，设B为C关于直线OA的对称点，连接BE， 求证直线BE恒过定点。证明：设 ax2 + by2 = 1 （a + b 0）动直线MC : x = ky + m因为M在x轴上，B、C关于x轴对称所以 MB : x = -ky + m又因为曲线关于x轴对称所以可设BE : x = sy + nDC :x = 一 sx + n由曲线系理论可知，存在实常数u、v，使得 u (x m ky)(x m + ky) + v( x n sy)(x n + sy) = ax 2 + by 2 1比较x2的系数得u + v = a(1)比较x的系数得2mu 2nv = 0(2)比较常数项得：um2 + vn2 =1(3)mana由(1) (2)得：u = ，umnnama带入(3)得：m2 +mnmn即： mna (m - n) - m - n
