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1、数学专题六 解析几何【考点精要】考点一. 直线的倾斜角、斜率与方程。会用直接法、待定系数法、轨迹法等求直线方程。如：已知直线过（1，2）点，且在两坐标轴的截距相等，则此直线的方程为 。考点二. 点、直线、直线与直线的位置关系。重点考查点与直线的距离，直线与直线的距离公式、位置关系，直线与直线的夹角。如：若直线通过点，则( )A B C D考点三. 直线与圆，圆与圆的位置关系。重点考查直线与圆的相关性质、圆与圆的相关性质。过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为( )A B C D考点四. 椭圆及其标准方程。椭圆的简单的几何性质，椭圆的参数方程的应用。双曲线及其标准方程，
2、抛物线的简单的几何性质及其标准方程，抛物线的简单的几何性质。如：设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A B C D考点五. 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交点（向量的数量积）、截取的线段。如：已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=( )A B 2 C D 3考点六. 圆锥曲线的离心率。一般考查两个方面：一是求离心率的值，另一个是根据题目条件求离心率的范围问题。求解时或根据题意巧设参数，或利用直线与圆锥曲线的交点得到不等量关系进而求出离心率的范围。如：已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一
3、点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 考点七. 圆锥曲线的轨迹方程。借助代数、几何、平面向量等求圆锥曲线的轨迹方程问题，一般运用代入法、交规法，参数法、设而不求法等。如：已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。考点八. 圆锥曲线的最值。以圆锥曲线知识为依托，注重考查对称为题、参数问题、最值问题、存在性问题等，这类问题入手点难，运算量大，题目往往涉及的知识多，层次复杂，多以大题出现。巧点妙拨1直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)中，仅有一般式可以表示坐标平面内的任意直线，其他四种形式都有局限性，故在
4、使用是尽量使用一般式2处理直线与圆的位置关系问题的常规思路有两个：其一，通过方程，利用判别式；其二，根据几何性质，借助圆心到直线的距离进行求解3在求解直线与圆锥曲线的位置关系时，经常用到一些特殊技巧比如：设而不求、整体运算等这些运算都有一个公共的前提：0求解后切莫忘记验证【典题对应】例1.(2020山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D.命题意图：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能。解析:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解
5、,所以=,所以,故选D. 名师坐堂：解决双曲线问题时应结合图形进行思考，若直线与双曲线有一个交点时=0就未必可以。同时在双曲线中也是至关重要的。例2.（2020山东理)设椭圆E：（a,b0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。命题立意:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
6、解析:（1）因为椭圆E：（a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为,解方程组得,即, 则=,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”当时,.当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以
7、此时,综上,|AB|的取值范围为即：名师坐堂：1、待定系数法求方程是一种常用且较为有效的方法；2、在设直线方程式若设成斜截式应充分考虑到斜率是否存在；3、两直线垂直的充要条件:；4、求函数值域是要考虑自变量的取值范围。【授之以渔】（1）已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线（2）已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为.焦点三角形：P为椭圆上一点，则三角形的面积S=特别地，若此三角形面积为；（3）在椭圆上存在点P，使的条
8、件是cb,即椭圆的离心率e的范围是。【直击高考】1. 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A60条 B66条 C72条 D78条2. 与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_.3. 双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则b2=_.4. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.5. 已知双曲线C：2x2y
9、2=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.6. 已知圆k过定点A(a,0)(a0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？数学专题六 解析几何【直击高考】1. 解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个
10、点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A2.解析：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。3.解析：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4,依已知条件有|PF1|PF2|=|
11、F1F2|2=4c2，16+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.4.解析：由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0.由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)，设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S=2(5+m),从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号。故直线l的方程为y
12、=x1，AMN的最大面积为8.5.解析：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0。()当2k2=0,即k=时，方程有一个根，l与C有一个交点。()当2k20,即k时，=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)，当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k
13、不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)，又x1+x2=2,y1+y2=2，2(x1x2)=y1y1，即kAB=2，但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.6. 解析：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,，圆k的半径R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)，弦MN的长不随圆心k的运动而变化.(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0，y1y2=y02a2|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.，又|MN|=|y1y2|=2a，|y1|+|y2|=|y1y2|，y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.，x0，圆心k到抛物线准线距离d=x0+a,而圆k半径R=a。且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.
