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1、5积分因子法本节再来讨论1剩下的没有解决的第三个问题.即当方程P(x, y)dx Q(x, y)dy = 0(5.1)不满足条件 矛=贝时，有什么办法能把它变为恰当方程呢？由一阶微分的形式不变性，易见变量代换；:y；x发在这里是无能为力的.但在2对变量分离方程X(x)Yi(y)dx+Xi(x)Y(y)dy =0,1虽然一般来说匕不是恰当方程，然而用P(x,y)=乘方程两侧，就得到一个恰当方程Xi(x)Yi(y)X(x)Y(y儿八dx dy = 0.Xi(x)Yi(y)由以上作法我们得到启示，分离变量法可以推广而成为对方程(5.i)能够适用的积分因子法.就是说,(5.2)(5.3)(5.4)对一
2、般的方程(5.i),设法寻找一个可微的非零函数P = P(x, y),使得方程(x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy =0成为恰当方程，亦即f(P)f(Q):y；x满足这一条件的 卜(x, y)称为方程(5.i)的一个积分因子.由条件(5.3)，可以看出P(x,y)应满足方程三-。里=(&-毛:y:x :x :y(5.4)是一阶线性偏微分方程 对于一般的一次连续可微函数P(x, y),Q(x, y),虽然可证(5.4)的解一定存在，但要想通过解方程(5.4)来求积分因子，从而得到方程(5.i)的解，将比求解(5.i)本身更困难然而，在若干特殊情形中，利用 (5.4)去寻求
3、(5.i)的积分因子却是可行的.也就是说，(5.4)为我们提供 了寻求特殊形式的积分因子的一个途径.例如，对于方程(5.i)，如果存在只与 x有关的积分因子 卜=N(x)，则=0 ,这时(5.4)变成或者-:P（x, y） fQ（x, y）(5.5)1 d（x） _；:y；:xdx 一 Q（x,y）由此可知，要（5.5）有解，其充要条件是：-:P(x,y) ；:Q(x, y).:y jxQ(x, y)= G(x)(5.6)即与y无关.当此条件满足时，便可由 （5.5）式求得方程（5.1）的一个积分因子G(x)dx(x)(5.7)把上面的讨论用定理的形式写出即为定理4 微分方程（5.1）有一个只
4、依赖于 x的积分因子的充要条件是：表达式（5.6）只依赖于x ,而与y无关；而且由（5.7）所确定的函数 H（x）是方程（5.1）的一个积分因子.同理，可以得到如下平行的结果.定理5微分方程（5.1）有一个只依赖于 y的积分因子的充要条件是：表达式Q(x,y) _ fP(x,y).x；:yP(x,y)= H(y)只依赖于y,而与x无关；而且此时函数 k（y）例1求解微分方程= e（y）dy是方程（5.1）的一个积分因子.(3x3y)dx (2x y -x)dy = 0(5.8):P:Q解 这里上匚=1,竺=4xy 1,因此原方程不是恰当方程，由于:Y：:x于是由定理4知，原方程有积分因子(Y)
5、dx(x)=e x将它乘（5.8）式，得到一个恰当方程ydx - xdy 一 3xdx +2ydy + 2=。，x由此可求得通积分-x2y2 旦=C .2x由于于是值得注意的是,同一个微分方程可以有许多积分因子,例如ydxxdy = 0这么一个简单的微分方程,成两组:12yy、 xdy - ydx d(_) =2，x xX、 ydx - xdy d(_) =2，y yx ydx - xdy d (arctan ) =22 ,y x yx ydx - xdyd(ln ).y xyi i22,上等都是这个微分方程的积分因子x y xy.由此再来看上面的例1,将（5.8）式的左端分(3x3dx 2x
6、2ydy) (ydx -xdy) = 0 . ii i ,、 i i其中第二组由上述讨论知，有积分因子, 2 2或，若同时考虑到第一组，则P（x）= 土 是x y x y xyx两组的公共的积分因子，从而是方程（5.8）的积分因子.为了使这种分组求积分因子的方法一般化，给出下面的有关积分因子的一个性质定理定理6若.=P（x, y）是方程（5.i）的一个积分因子，使得(x,y)P(x, y)dx = Tx, y)Q(x, y)dy = d：，(x, y)则x, y）g（中（x, y）也是（5.i）的积分因子，其中g（）是任一可微的非零函数证明 (x, y)g(：、(x, y)( P(x, y)d
7、x Q(x, y)dy) = g3(x, y)d：，(x, y)=dg（）d，所以P（x, y）g （中（x, y）也是（5.i）的积分因子下面就介绍分组求积分因子法.设将方程（5.i）的左端分成两组，即写成：(Rdx + Qidy) +(P2dx +Q2dy) = 0 ,其中第一组和第二组各有积分因子土和k2,使得:Ni(Rdx+Qidy) =di,七(Pzdx + Qzdy) = d2.由定理6,对任意可微函数gi和g2,卜偈1(1)是第一组的积分因子，七g2(中2)是第二组的积分因子如果能够找到适当的 g1和g2 ,使得igi(中 J = %g2(2)=日，那么P也就是原方程(5.i)的
8、积分因子.例2求解微分方程(x3y -2y2)dx x4dy = 0解把方程改写为(x3 ydx x4dy) - 2y2dx = 0(5.9)不难看出，前一组有积分因子和通积分xy=C，故它有更一般的积分因子g(xy),前一组有积xx分因子和通积分x = C，故它有更一般的积分因子Jygjx).为使关系式yyi, 、 i,、gi(xyH g2(x) xy成立，可取,、 i ,、 igi(xy), g2(x)=.(xy)x从而得到原方程的积分因子P = 3，以它乘方程(5.9)的两端，得到x yii- d(xy) -dx = 0 ,积分即得通解2x3y =4.2Cx4 i此外，原方程还有解 x
9、= 0和y = 0，它们是在用 乘方程(5.9)的两端时丢掉的 x y例3讨论齐次方程(5.i0)P(x, y)dx Q(x, y)dy = 0的积分因子，其中 P(x,y),Q(x,y)都是x, y的m次齐次函数，且一次连续可微解 由 4知道，变换y=xu能把(5.10)变为变量分离的方程.事实上，由于 P(x,y), Q(x, y)的齐次性可知成立:P(x, y) =P(x,xu) =xmP(1,u), Q(x, y) =Q(x,xu)= xmQ(1,u).此外，还有dy = xdu +udx , 一起代入(5.10)式，得:xm( P(1,u) Q(1,u)udx xQ(1,u)du =
10、 0.要把它变为恰当方程，只需在等式两边乘以积分因子 = m 1 =xm1P(1,u) Q(1,u) xP(x,y) yQ(x,y)本章关于一阶微分方程的初等积分法基本上可以分为两类：一类方法的基础是变量分离的方程，方 法的特点是将所考虑的方程通过适当的变量代换化为变量分离的方程.令一类方法的基础是恰当方程，方发的特点是，寻找适当的积分因子，将所给的方程化为恰当方程熟悉各种类型方程的解法，正确而又迅速地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所属类型 的方法求解，这是最基本的要求 .但是一般我们所遇到的方程未必就是所讨论过的方程类型，因此我们必 须对具体问题作具体的分析，善于根据方程的特点，引进适当的变换或寻找适当的积分因子，将方程化 为能求解的新类型，从而求解 .
