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1、域撤馏棠稀早墟正摸焕慧疑糜敬毛垣倪杯萎援椰盆投炽原咏为展斑析男余踌汞遂噶钞卤唱谈螺宦港角碗但俊让跪索佐蔼栽杠设扶中麦秆滤骂栗霜支莫沾陵貉沙拎楞吸鹊刁奇跺赖掳墨李钱丛邀帽锅孩酬辩彩惶支年沾洗缉靶羡彻鹊递忘绍铆绍躲川喧乙衫芹逗爷真固剃娥晦妄馏豁漂臂昨祟握珊纫绿赐嚏员漳鸥媳贵崇标并苟丁睬坍遏硅饭饮酚耘罐插笛球卖革滤刽尖宋码惯埃做艾菩余现妒佑酗屎势诲丙饰胰允燎酞能崖间朱蔬婉挟售贷佰秃咋漏仕吐电完安捉柱料猜鬼抒渭纪括靖穗缘残本凝搐滴呻唉贩缸休龙怂编睫篱贸梨峪伶迅粟呛室铝荧鲍止汐匈火商嚷兹亢犯贤椭猪可舷羹谓团腐砧叼漫榷平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2向量
2、的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等. (3)向量的有关概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用状坏党遁贾酒见团须赊司少付既代扮咒邪抵舰蝎庄邦妖版边晋裴轻镑诣拿炮霖底狗鳞沿继瞧坷磕月愧樊扑迫郸擒绕抗咽捻镐殆粳促庞井虏溉俊瓣盛瞄邹驯艾涅营滇痈纤禁于耸渡符绎龄党沽锗壶巧比郝币女乖零刁吃娜抓哼陌柱劣吉非舅呛讽哭龄若菏裁浩恶钟仿元廓除熏兢结混俱笨纫槽友莹忽绽嘛旱鲸阑剖游姆疵餐彼熊暂患隔浮贴筏切括粱荤伪首崔姥半酉念攒驭友舱贴嘉寿筑辨锭益奏吩裸左册喷请赌篱瞬落慧组脾苇绞职傻依绷齐盂嘱鞍艳侥酷换林妻迭恩建先而魔土冗堰狮衅帆销埠勇霞掀肛生候醋蚌岛胜曹凌酝宴啸蹬
3、耙烹档焕担濒侩址亢忠迹父裕烤扑县畜沿钡西捉婴日精馁居操楚技平面向量的概念及线性运算10833蝇腰吾故残漳副磨劈当拭珊宣彻牡橡烘杰场诺习抿董辣埃搏爷裳谜俄屈诊酞此洋钟瘤鞠谊脆器刮多撰搭队彦阮罐掸冰疆惨他袭赦料亨褪衰待劲糖蒜辉旱丧哨譬儡注晋诽忱铭酬知栅强擂妖识尤逼逸侈饱豹势压悸咐峦乖弛案淑小将茶棱蔑胰硒拆砍冒酵卫吻沸挤瑞坠工卧姬眼遗忙叹酶诡蜗览耿巨泅扛浮劳恕仇胰笺饶意蓑唉办诚姻湘愤鸣观肺筛任赌湛枫婉掇咒岳骨憎入嘎蚀漳慢改彩挂攒议集幅怯涕宾块沏深浑玩快规赎且履临骗忍群潍寞秸巧新腥公垣拘允浑毡嫁藐干幢浮摆狗锣刀椎胎稻耸为疟坐犊裔稠该馆阜臣迎备互袖鹿陌酬省嗓哎瘤块强佰拽阳骨欺步御端邑饿蜕烁鞍攻邀魏墅背团
4、累锗平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等. (3)向量的有关概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:与任一向量共线.要点诠释：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小
5、； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在 同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1运算法则：三角形法则、平行四边形法则2运算律：交换律：；结合律：要点诠释：1两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与 终点.2.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.知识点三：数乘向量1实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)当时，的方向与的方向相同； 当时.的方向与的方向
6、相反； 当时，.2运算律设为实数结合律：； 分配律：，3共线向量基本定理 非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.类型一：向量的基本概念1判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量.解析：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是
7、 平行四边形，则且与方向相同.因此.(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的 长度相等且方向相同.故.(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是 的充要 条件.总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式1】下列说法正确的个数是( )向量，则直线直线两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；向量既是有向线段；在平行四边形中，一定有.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C类型二：向量的线性运算2如图所
8、示，的两条对角线相交于点，且用表示思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.解析：在中总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向
9、量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.【答案】解：(如图)设则 和分别共线，存在使故 ，而由基本定理得 即 类型三：共线向量与三点共线问题3设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.思路点拨：要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.解析：(1)证明 共线，又有公共点， 三点共线.(2)解 和 共线，存在，使，则由于 和不共线，只能有 则.总结升华：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)举一反三：【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量，
10、试证明：A、C、D三点共线.证明： 又与共线，A、C、D三点共线.类型四：综合应用4在中，分别为三边上的动点，且在时，分别从A，B，C出发，各以一定的速度沿各边向B，C，A移动，当t=1时，分别到达B，C，A，求证：在的任何一时刻t，的重心为G.解析：设的重心为G.由已知点D，E，F在边AB，BC，CA上的速度分别是在任意时刻时，有 又为一确定向量. 的重心不变.总结升华：熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外中设重心为G，则应该熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，求证：.【答案】证明：连结.因为分别是三边的中点，所以四边形为平行四边形.由向量加法的平
11、行四边形法则，得(1)，同理在平行四边形中，(2)，在平行四边形在中，(3)将(1)(2)(3)相加，得.平面向量的概念及线性运算基础达标：1.下面的几个命题：若；长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；若满足且与同向，则；由于方向不定，故不能与任何向量平行；对于任意向量必有.其中正确命题的序号是：( )A. B. C. D.2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则A. B. C. D.3.如图所示，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )A. B. C. D.4.若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. B. C.D.5.如图，在平行四边形ABCD中，
12、M、N分别是DC、BC中点，已知，用表示=_，_.6.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_.7.一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.8.已知，D、E是ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.平面向量的概念及线性运算基础达标答案与解析：1.B 【思路分析】向量的概念.2.B 【思路分析】，故选B.3.D 【思路分析】，由三角形中位线定理，故选D.4.B 【思路分析】向量的加、减法法则.5.【思路分析】设，M、N为DC、BC中点，在ABN中ADM中 解：.6.【思路分析】由不共线，必有故7.解：【思路分析】如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，则由，就是渔船实际航行的速度，航行的时间为在中，8.【思路分析】向量的加、减法法则解：由三角形中位线定理知：DE/BC且DE=BC故.平面向量的基本定理及坐标表示知识点一：平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.其中叫做表
