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1、概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.2.AB(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. AB=AB(积事件)事件A与B同时发生.
2、4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB=F (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=F且AB=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性 P(A)0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,(A iAj=, ij, i,j=1,2,),P(A1A2)=P( A1)+P(A2)+2.性质 (1) P(
3、F) = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,A n ,P(A1A2A n)=P(A1)+P(A2)+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB, 则P(A)P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) .对于任意n个事件A1,A2,A n+(-1)n-1P(A1A2A n)四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限
4、个,即S=e1,e2,e n;(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)0). P(A1A2A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A n|A1A2A n-1) (n
5、2, P(A1A2A n-1) 0)3. B1,B2,B n是样本空间S的一个划分(BiBj=,ij,i,j=1,2,n, B1B2B n=S) ,则当P(B i)0时,有全概率公式 P(A)=当P(A)0, P(B i)0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)= . 六.事件的独立性 1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A,B相互独立 P(B)= P (B|A) .(2)若A与B,A与,与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C),
6、 P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3.n个事件A1,A2,A n,如果对任意k (1kn),任意1i1i2i kn.有,则称这n个事件A1,A2,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S=e上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=PXx , x是任意实数. 其性质为:(1)0F(x)1 ,F(-)=0,F()=1. (2)F(x)单调不减,即若x1x2 ,则 F(x1)F(x 2
7、).(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)Px1Xx2=F(x2)-F(x1).二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 PX= x k= p k (k=1,2,) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 0Pk1 ; (2)归一性 .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,)处具有跳跃点,其跳跃值为p k=PX=x k .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1)分布 PX=1= p ,PX=0=1p (0p1) .(2)Xb(n,p)参数为n,p的二项分布PX=k=(k=
8、0,1,2,n) (0p0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=,- x ,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)0 ; (2)归一性 =1 ;(3) Px 10).(3)XN (m,s2 )参数为m,s的正态分布 -x0.特别, m=0, s2 =1时,称X服从标准正态分布,记为XN (0,1),其概率密度 , 标准正态分布函数 , F(-x)=1-(x) .若XN (m,s2), 则Z=N (0,1), Px1z a= PZz a/2= a,则点z a,-
9、z a, z a/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点. 注意：F(z a)=1-a , z 1- a= -z a.四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布1.离散型随机变量的函数 Xx 1 x2 x k p kp 1 p2 p k Y=g(X)g(x1) g(x2) g(x k) 若g(x k) (k=1,2,)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k) (k=1,2,)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法：(1)分布函数
10、法 先求Y的分布函数FY(y)=PYy=Pg(X)y=其中k(y)是与g(X)y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得fY(y)=FY /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)0 (或g / (x)0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 其中h(y)是g(x)的反函数 , a= min (g (-),g () b= max (g (-),g () .如果f (x)在有限区间a,b以外等于零,则 a= min (g (a),g (b) b= max (g (a),g (b) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合
11、分布函数1.定义 若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PXx,Yy称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0F(x,y)1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F(,)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数x 1x 2 , y 1y 2Px 1Xx 2 , y 1Yy 2= F(x
12、2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j) (i ,j =1,2, )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称PX= x i,Y= y j = p i j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示. 2.性质(1)非负性 0p i j1 . (2)归一性 . 3. (X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)= 三.二维连续型随机变量及其联合概率密度 1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x和y,有F(x,y)= 则称(X,Y)为二维连续型随
13、机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)0 . (2)归一性 .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则(4)若G为xoy平面上一个区域,则.四.边缘分布1. (X,Y)关于X的边缘分布函数 FX (x) = PXx , Y= F (x , ) .(X,Y)关于Y的边缘分布函数 FY (y) = PX, Yy= F (,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律 PX= x i = = p i ( i =1,2,) 归一性 .关于Y的边缘分布律 PY= y j = = pj ( j =1,2,) 归一性 .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度f X (x)= 归一性关于Y的边缘概率密度f Y (y)= 归一性五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= FX (x) FY (y) ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立p i j= p ipj ( i ,j =1,2,)对一切xi,yj成立.3.连续型
