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1、变化率与导数1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近变化量为时，函数值相应地变化,如果当趋近于时，平均变化率趋近于一种常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以不不小于任意小的正数),那么常数称为函数在点的瞬时变化率。2.导数：当趋近于零时,趋近于常数c。可用符号“”记作:当时,或记作,符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，一般称作在处的导数，并记作。.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的,则称在区间可导。这样，对开区间内每个值,都相应一种拟定的导数。于是，在区间内，构成一种新的函数,我们把这个函数称为函数的导函数。记为或(或）。4.导数的四则运算法则：
2、）函数和(或差)的求导法则:设，是可导的，则即，两个函数的和（或差)的导数,等于这两个函数的导数的和（或差)。2）函数积的求导法则：设,是可导的，则即，两个函数的积的导数,等于第一种函数的导数乘上第二个函数,加上第一种函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则:设，是可导的,，则.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的相应点处有导数,则复合函数在点处有导数，且.几种常用函数的导数: (1) (2）(3) (4) (5) (6) （7） （8)二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意如下几点(1)运用复合函数求导法则求导后，要把中
3、间变量换成自变量的函数，层层求导.(2） 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆，始终计算到最后,常浮现如下错误,如事实上应是。(3) 求复合函数的导数，核心在于分清晰函数的复合关系,选好中间变量,如选成，计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义,一般指曲线的切线斜率.导数的物理意义,一般是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的结识，应予以足够的注重。4. 表达处的导数，即是函数在某一点的导数;表达函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数,即是在内任一点的导数。5导数与持续的关系若函数在处可导,则此函数在点处持续,
4、但逆命题不成立，即函数在点处持续，未必在点可导,也就是说,持续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充足条件。6可以运用导数求曲线的切线方程由于函数在处的导数,表达曲线在点处切线的斜率，因此,曲线在点处的切线方程可如下求得:（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知，切线方程为三、典型例题导讲例已知，则 错因：复合函数求导数计算不纯熟,其与系数不同样也是一种复合的过程,有的同窗忽视了，导致错解为:正解:设，,则.例2已知函数判断f()在=1处与否可导?错解:。分析：
5、分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断与否可导 . 解: f(x)在x1处不可导.注:，指逐渐减小趋近于0；,指逐渐增大趋近于0。点评:函数在某一点的导数，是一种极限值，即,x0，涉及x+,与x0，因此,在鉴定分段函数在“分界点”处的导数与否存在时，要验证其左、右极限与否存在且相等，如果都存在且相等，才干鉴定这点存在导数,否则不存在导数.例3求在点和处的切线方程。错因:直接将,看作曲线上的点用导数求解。分析:点在函数的曲线上,因此过点的切线的斜率就是在处的函数值;点不在函数曲线上，因此不可以直接用导数求值，要通过设切点的措施求切线解:即过点的切线的斜率为，故切线为：设过点的切线的切点为
6、,则切线的斜率为,又,故，。即切线的斜率为或2，从而过点的切线为:点评: 要注意所给的点与否是切点若是，可以直接采用求导数的措施求;不是则需设出切点坐标.例求证:函数图象上的各点处切线的斜率不不小于，并求出其斜率为的切线方程.分析:由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都不不小于1，只要证它的导函数的函数值都不不小于1，因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解：(1),即对函数定义域内的任一,其导数值都不不小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都不不小于(2）令,得，当时，；当时，曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。点评： 在已
7、知曲线 切线斜率为的状况下，规定其切线方程,需规定出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解,将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程,要注意的是方程有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条例5已知，函数，设，记曲线在点处的切线为 . (1)求 的方程； (2）设与 轴交点为，求证： ； 若,则分析：本题考察导数的几何意义，运用其求出切线斜率,导出切线方程 . 解:（） 切线的方程为即.(2)依题意，切线方程中令=0得, 由知,例6求抛物线 上的点到直线的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表达为自变量的函数，然后求函数最小值即可
8、，此外，也可把直线向接近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.解：根据题意可知,与直线x-2=0平行的抛物线y=x2的切线相应的切点到直线x-y2=的距离最短,设切点坐标为（),那么, 切点坐标为,切点到直线x-=0的距离， 抛物线上的点到直线的最短距离为.四、典型习题导练1.函数在处不可导,则过点处,曲线的切线 ( ）A.必不存在B.必然存在 C必与x轴垂直 D.不同于上面结论在点x=3处的导数是_.已知,若,则的值为_.4已知P（1,）,(2,4)是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _ 5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程若过两抛
9、物线和的一种交点为的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点,并求出定点的坐标.练习:变化率与导数(文)一、 平均变化率1、已知函数的图象上一点及附近一点,则等于( ）A. B C D、一质点运动的方程为,则在一段时间内相应的平均速度是( )A B C D.二、 导数的定义、设在处可导,则等于（ ）A. B. C D2、 若函数在处的切线的斜率为，则极限_.3、 若在处可导,则_.4、 若，则等于_三、 基本初等函数求导1、 求下列函数的导函数（1） （2） (3) (4) (5) y=; （6)y（x)（x+）(x+3)；（7） y=sinx (8)y=+;2、 若=(x2-3）(x-4),则=
10、 .3、 若则 4、 若则y 5、 若则y= 6、 已知f（x)=，则（x）=_.7、 质点的运动方程是求质点在时刻t=4时的速度 四、 曲线切线问题1、 曲线在处的切线方程是_2、曲线在点处的切线方程是_3、 函数在处的切线方程是_4、 与直线2-6y+=0垂直,且与曲线=x+x21相切的直线方程是_.5、 曲线在点处切线的倾斜角是_6、 若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程是_7、曲线y在点M处的切线的斜率为()A.- B. C- D8、求过点（,）且与曲线=相切的直线的方程9、 若曲线f（x）ax2n存在垂直于y轴的切线,则实数的取值范畴是_.10、 已知曲线x+3x2+6x10上一点,
11、求过曲线上P点的所有切线中，斜率最小的切线方程1、已知函数f（x）x3x(a)(其中aR），且（)=,求:(1)f(x)的体现式；(2)曲线=f(x)在x=处的切线方程.12、已知函数(x）x16.(1)求曲线y=(x)在点(，6)处的切线的方程；()直线为曲线y（x)的切线，且通过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线=f(x）的某一切线与直线y=x3垂直，求切点坐标与切线的方程.13、已知函数f(x)=a3+32-6ax1,g(x)32+6x，和直线:yx9，又f（-1）=.()求a的值;(2)与否存在的值，使直线m既是曲线y=（x）的切线，又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值；如果不存在,请阐明理由.1、设函数f(x）ax,曲线y=f（x)在点(2，(2）处的切线方程为7x-20.(1)求f(x)的解析式;()证明:曲线yf（x)上任一点处的切线与直线=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.五、 复合函数求导（1） y（23)5; （2)y=；（3)y=ln（2+). (4)y；
