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1、第十七 章量子物理题17.1：天狼星的温度大约是11000。试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长该波长属紫外区域，所以天狼星呈紫色题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K，地球的平均温度约为293 K。若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律可知，这两个星体辐射能量之比为题17.3：太阳可看作是半径为7.0 108 m的球形黑体，试计算太阳的温度。设太阳射到地球表面上的辐射能量为1.4 103Wm2，地球与太阳间的距离为1.5 1011m。题
2、17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d为半径作一球面，地球处在该球面的某一位置上。太阳在单位时间内对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有 （1） （2）由式（1）、（2）可得题17.4：钨的逸出功是4.52 eV，钡的选出功是2.50 eV，分别计算钨和钡的截止频率。哪一种金属可以用作可见光范围内的光电管阴极材料？题17.4解：钨的截止频率钡的截止频率对照可见光的频率范围可知，钡的截止频率正好处于该范围内，而钨的截止频率大于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管材料。题17.5：钾的截止频率为4.62 1014 Hz，今以波长为435.8 nm的光照射，求钾放出的光
3、电子的初速度。题17.5解：根据光电效应的爱因斯坦方程其中可得电子的初速度由于选出金属的电子的速度v c，故式中m取电子的静止质量。题17.6：在康普顿效应中，入射光子的波长为 3.0 103 nm，反冲电子的速度为光速的60，求散射光子的波长及散射角。 题17.6解：根据能量守恒，相对论质速关系以及散射公式有（1）（2）（3）由式（1）和式（2）可得散射光子的波长将入值代入式（3），得散射角题17.7：一具有l.0 104eV能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为60。试问：（1）光子的波长、频率和能量各改变多少？（2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？题17.
4、7解：（1）入射光子的频率和波长分别为散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时，光子也将失去部分能量。 （2）由能量守恒可知，反冲电子获得的动能，就是散射光子失去的能量由相对论中粒子的能量动量关系式以及动量守恒定律在 Oy轴上的分量式（图17-7）可得（1）（2）（3）由式（1）和式（2）可得电子动量将其代入（3）式可得电子运动方向题17.8：波长为0.10 nm的辐射，射在碳上，从而产生康普顿效应。从实验中测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。题17.8解：（1）由散射公式得（2）反冲
5、电子的动能等于光子失去的能量，因此有根据动量守恒的矢量关系，可确定反冲电子的方向 题17.9：试求波长为下列数值的光子的能量、动量及质量：（1）波长为1500 nm的红外线；（2）波长为 500 nm的可见光；（3）波长为 20 nm 的紫外线；（4）波长为 0. 15 nm的X射线；（5）波长为 1.0 10-3 nm的g 射线。题17.9解：由能量，动量以及质能关系式，可得 （1）当时，（2）当时，因故有3）当时，因故有4）当时，因，故有（5）当时，题17.10：计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光。 题17.10解：莱曼系的谱线满足令 ni = 2，得该谱系中最长的
6、波长令，得该谱系中最短的波长对照可见光波长范围（400760 nm），可知莱曼系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫外线部分。题17.11：在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数的轨道跃迁到nf = 2的轨道上时，对外辐射光的波长为多少？若再将该电子从nf =2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？题17.11解：根据氢原子辐射的波长公式，电子从跃迁到nf = 2轨道状态时对外辐射光的波长满足则而电子从nf = 2跃迁到游离态所需的能量为负号表示电子吸收能量。题17.12：如用能量为12.6 eV的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？题17.12解： 根据跃迁假设和波数公式有（1）将， nf =
7、 1和（这是受激氢原子可以吸收的最多能量）代入式（1），可得，取整（想一想为什么？），即此时氢原子处于n = 3的状态。 由式（2）可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射，所对应的谱线波长分别为102.6nm、657.9nm和121.6nm。题17.13：试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.0510-3 A在氢原子核处，这个电流产生的磁场的磁感强度为多大？题17.13解：基态时，电子绕核运动的等效电流为式中v1为基态时电子绕核运动的速度，该圆形电流在核处的磁感强度上述过程中电子的速度v c，故式中m取电子的静止质量。题17.14：已知a粒子的静质量为6.681027 kg，求速率为5
8、000 km/s的a粒子的德布罗意波长。题17.14解：由于a粒子运动速率v c，故有 m = m0，则其德布罗意波长为题17.15：求动能为1.0 eV的电子的德布罗高波的波长。 题17.15解：由于电子的静能 ，而电子动能，故有，则其德布罗意波长为题17.16：求温度为27时，对应于方均很速率的氧气分子的德布罗意波的波长。题17.16解：理想气体分子的方均根速率。对应的氧分子的德布罗意波长题17.17：若电子和光子的波长均为0.20 nm，则它们的动量和动能各为多少？题17.17解：由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为光子的动能电子的动能 （此处电子动能用非相对论方法计算）题17.18
9、：用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能量与动量表达式。题17.18解：势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间a内形成了稳定的驻波，由两端固定弦驻波的条件可知，必有，即由德布罗意关系式，可得自由粒子的动量表达式由非相对论的动量与动能表达式，可得自由粒子的能量表达式从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的。题17.19：电子位置的不确定量为5.0 102nm时，其速率的不确定量为多少？ 题17.19解：因电子位置的不确定量，由不确定关系式以及可得电子速率的不确定量题17.20：铀核的线度为7.2 105m。求其中一个质子的动量和速度的不确定量。
10、题17.20解：对质子来说，其位置的不确定量，由不确定关系式以及，可得质子动量和速度的不确定量分别为题17.21：一质量为40g的子弹以1. 0 103 m/s的速率飞行，求：（ 1）其德布罗意波的波长；（2）若子弹位置的不确定量为0.10 mm，求其速率的不确定量。题17.21解：（1）子弹的德布罗意波长为（2）由不确定关系式以及可得子弹速率的不确定量为 由计算可知，由于h值极小，其数量级为1034，故不确定关系式只对微观粒子才有实际意义，对于宏观物体，其行为可以精确地预言。题17.22：试证如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于或等于其速度。题17.22证：由
11、题意知，位置不确定量，由不确定关系式可得，而，故速度的不确定量题17.23：已知一维运动粒子的波函数为 式中，试求：（1）归一化常数A和归一化波函数； （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（又称概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大。 题17.23解：（l）由归一化条件 ，有 （注：利用积分公式）经归一化后的波函数为 （2）粒子的概率分布函数为 （3）令，有4，得和时，函数有极值。由二阶导数可知，在处，有最大值，即粒子在该处出现的概率最大。题17.24：设有一电子在宽为0.20 nm的一维无限深的方势阱中。（1）计算电子在最低能级的能量；（2）当电子处于第一激发态（n = 2）时，在势阱中何
12、处出现的概率最小，其值为多少？题17.24解：（1）一维无限深势饼中粒子的可能能量，式中a为势阱宽度，当量子数n =1时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为当它处于第一激发态（n = 2）时，波函数为相应的概率密度函数为令得在的范围内讨论可得，当x =0, , , 和a时，函数取得极值。由可知，函数在x = 0, x = a/2和x = a（即 x = 0, 0.10nm, 0.20 nm）处概率最小，其值均为零。题17.25：在线度为1.0 105 m的细胞中有许多质量为m = 1.0 107kg的生物粒子，若将生物粒子作为微观粒子处理，
13、试估算该粒子的n = 100和n = 101的能级和能级差各是多大。 题17.25解：按一维无限深方势阱这一物理模型计算，可得它们的能级差 题17.26：一电子被限制在宽度为 1.0 10-10 m的一维无限深势阱中运动。（1）欲使电子从基态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？（2）在基态时，电子处于x1 = 0.09010-10 m与x2 = 0.110 10-10 m 之间的概率为多少？（3）在第一激发态时，电子处于与 之间的概率为多少？ 题17.26解：（l）电子从基态（n = 1）跃迁到第一激发态（n = 2）所需能量为（2）当电子处于基态（n = 1）时，电子在势阱中的概率密度为。所求
14、区间宽度，区间的中心位置，则电子在所求区间的概率近似为（3）同理，电子在第一激发态（n = 2）的概率密度为，则电子在所求区间的概率近似为题17.27：在描述原子内电子状态的量子数中，（l）当n = 5时，的可能值是多少？（2）当时，的可能值为多少？（3）当时，n的最小可能值是多少？（4）当n = 3时，电子可能状态数为多少？ 题17.27解：（1）n = 5时，的可能值为5个，它们是= 0，1，2，3，4； （2） = 5时，的可能值为11个，它们是= 0，1，2，3，4，5； （3）= 4时，因为的最大可能值为（n - 1），所以n的最小可能值为5； （4） n = 3时，电子的可能状态数为2n2 = 18。题17.28：氢原子中的电子处于n = 4、= 3的状态。问：（1）该电子角动量L的值为多少？（2）这角动量L在z轴的分量有哪些可能的值？（3）角动量
