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1、整式乘除与因式分解概述定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法 与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学 生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为 学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高 学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。因式分解的方法因式分解没有普遍的方法 ，初中数
2、学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而 在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相 乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法， 除法等。注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3xA2+x=-x(3x-1)基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 。具体方法： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母取各项的
3、相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项 式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出 “-”号时，多项式的各项都要变号。例如： -am+bm+cm=-m(a-b-c) ；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把 2aA2+1/2 变成2(aA2+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式 ： a2-b 2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2 2ab + b2 = (a b) 2;注意：能运用完全平方公
4、式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式 )的平方和的形式，另一项是这两个数(或式 )的积的 2 倍。立方和公式 ： a3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；立方差公式 ： a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；完全立方公式 ： a33a2b3ab 2b3=(a b) 3公式： a 3+b 3+c 3 =(a+b+c)(a2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例如： a2 +4ab+4b 2 =(a+2b)2。（ 3 ）分解因式技巧1. 分解因式与整式乘法是互为逆变形。2. 分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式； 分解因式的结果必须是以乘积的形式表
5、示； 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考 虑。3. 提公因式法基本步骤：（ 1 ）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除 以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项 式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。一、知识点总结：1、单项式的
6、概念： 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母 也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如： 2a2bc 的 系数为 2，次数为 4，单独的一个非零数的次数是 0。2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项 的次数叫多项式的次数。2 2 2如：a 2ab x 1，项有a、 2ab、x、1，二次项为a、 2ab，一次项为x,常 数项为 1，各项次数分别为 2， 2， 1， 0，系数分别为 1， -2， 1， 1，叫二次四项式。3、整式： 单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
7、也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：如： x3 2x2y2 xy 2y31按 x 的升幂排列：1 2 y 3 xy 2 x 2 y 2 x3按x的降幕排列：x3 2x2y2 xy 2y31按 y 的升幂排列： 1 x3 xy 2x2y2 2y3按y的降幕排列：2y3 2x2y2 xy x3 15、 同底数幕的乘法法则：amgan amn（ m, n都是正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如： （a b）2g（a b）3 （a b）56、幕的乘方法则：（am）n amn（ m,n都是正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35 )2 3
8、10幕的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m丄62 33 2如：4(4 )(4 )7、积的乘方法则：(ab)n anbn ( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。(ab)4 (ab) (ab)3 a3b31。如:( 2x3y2z)5=( 2)5?(x3)5?(y2)5?z532x15y10z58、同底数幕的除法法则：am an am n ( a 0,m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：9、零指数和负指数；a01，即任何不等于零的数的零次方等于ap0, p是正整数)，即一个不等于零的数的p次方等于这个数的 p次方的如:倒数。(2)10、单项式的
9、乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只 在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意: 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2 y3z?3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,即 m(a b c) ma mb mc( m, a,b, c都是单项式) 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
10、运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x( 2x 3y) 3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3 a 2b)(a 3b)如：(x 5)( x 6)13、平方差公式：(a b)(a b) a2 b2注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：（x y z）（x y z）2 2 214、完全平方公式：（a b） a 2
11、ab b公式特征：左边是一个二项式的完全平方,右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意：2 ab2(ab)22ab(a b)2(ab)2(ab)24ab(ab)2(ab)2(a b)22ab2 2 2(a b) (a b) (a b)完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。15、三项式的完全平方公式:(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc16、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相
12、除），然后同底数幕相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：7a2b4m 49a2b17、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：（am bm cm） m am m bm m cm m a b c18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、知识点分析：1同底数幕、幕的运算： am an=am+n（ m, n都是正整数）.（am）n=amn（m, n都是正整数）.例题1.若2a 264 ,则 a=:若 27 3n( 3)8，则 n=例题2.若52x 1125，求(x 2)2009 x
13、的值。例题3.计算x3 n2 m2y2y x练习2n6n1. 右 a3 ，贝U a =2. 设 4x=8y-1，且 9y=27x-1,则 x-y 等于2积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘例题1.计算：3.乘法公式平方差公式：a完全平方和公式：完全平方差公式：a b 2 a2a b 2 a2p 4n n mb22ab b22ab b2例题1.利用平方差公式计算：2009X2007 20082例题2.利用平方差公式计算：2 200720072008 20063. (a 2b+ 3c d) (a+ 2b 3c d)5.因式分解：1.提
14、公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1把2ax 10ay 5by bx分解因式.分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幕排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是x 5y，这样可以继续提取公因式.解：2ax 10ay 5by bx 2a(x 5y) b(x 5y) (x 5y)(2a b)说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.2 2 2 2例2把ab(c d ) (a b )cd分解因式.分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因 式.解: ab(c2 d2) (a2 b2)cd abc2 abd2 a2cd b2cd(abc2 a2 cd) (b2cd abd2)ac(bc ad) bd(bc ad) (bc ad)(ac bd)说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了 加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.2.公式法：根据平方差和完全平方公式例题1分解因式9x225 y23.配方法：2例1分解因式x 6x 16解：x2 6x 16 x2
