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1、最新数学高考复习资料第8讲抛物线基础巩固1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:D解析:依题意知,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.2.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为()A.B.1C.2D.4答案:C来源:解析:由抛物线的定义得4+=5,故p=2.3.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是()A.B.C.D.答案:B解析:设弦为AB,则由焦点弦长公式有|AB|=,即=12,则sin =.故=.4.已知点P在抛物线y2
2、=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.B.来源:C.(1,2)D.(1,-2)答案:A解析:点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,此时点P坐标为.5.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案:C解析:不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x
3、=.代入y2=2px得y=p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故p=6,所以抛物线的准线方程为x=-3,故SABP=612=36.6.已知抛物线y2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且BAC=90,则动直线BC必过定点()A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2)答案:C解析:设B,C,BC的中点为D(x0,y0),则y1+y2=2y0,直线BC的方程为,即4x-2y0y+y1y2=0;又=0,y1y2=-4y0-20,代入式得2(x-5)-y0(y+2)=0,由此可知动直线BC恒过x-5=0与y+2=0的交点(5,-2).7.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线
4、l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案:C解析:由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图所示,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK中,由,得,解得x=2t,则cosNBK=,所以NBK=60,则GFK=60,即
5、直线AB的倾斜角为60.因此斜率k=tan 60=,故直线方程为y=(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图所示,同理可得直线方程为y=-(x-1).8.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2). 若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.答案:解析:由已知得B,将其代入y2=2px,得1=2p,所以p=(p0),则B点到准线的距离为.9.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=.答案:解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可得,x1+1=3,即x1=2.故A点坐标为(2,2),则直线
6、AB的斜率为k=2.从而直线AB的方程为y=2(x-1).由消去y得,2x2-5x+2=0,解得x1=2,x2=.故|BF|=x2+1=.10.设P是曲线y2=4x上的一个动点,则点P到点B(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为.答案:解析:抛物线的顶点为O(0,0),p=2,准线方程为x=-1,焦点F坐标为(1,0).点P到点B(-1,1)的距离与点P到准线x=-1的距离之和等于|PB|+|PF|.如图,|PB|+|PF|BF|,当B,P,F三点共线时取得最小值,此时|BF|=.11.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线所截得的弦长
7、为8,试求抛物线方程.解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+x2+,即x1+x2+=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y得x2-3px+=0.所以x1+x2=3p.将其代入得p=2,即所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=4x.12.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2
8、)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解:(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切,所以=(-4)2-4(-4b)=0,解得b=-1.来源:数理化网(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2,代入x2=4y,得y=1.故点A的坐标为(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2.所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.13.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(
9、1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,m的斜率为或-.当m的斜
10、率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.来源:当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.拓展延伸14.如图,过点F(1,0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.(1)若|AB|=8,求直线AB的方程;(2)记抛物线C的准线为l,设直线OA,OB分别交l于点N,M,求的值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=8,即x1+x2+p=8,又p=2,x1+x2=6.|AB|2p,直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).由方程组消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=,即=6,得k=1.直线AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.(2)当直线l的斜率不存在时,=x1x2+y1y2=1-4=-3.当直线l的斜率存在时,由(1)知,x1x2=1,y1y2=-=-4,来源:设M(-1,y3),N(-1,y4),B,O,M三点共线,则y3=-.同理可得y4=.故=(-1,y3)(-1,y4)=1+y3y4=1+=-3.综上,=-3.
